數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解決問題汪純中

1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解決問題數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解決問題汪純中汪純中一、解決問題概述二、解決問題的基本過程三、課改為解決問題搭建平臺(tái)一、解決問題概述1、備受關(guān)注的解決問題“初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題”具體要求包括：（1）逐步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題，理解問題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能解決問題；（2）形成解決問題的基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神；（3）“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提

2、供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，開展‘?dāng)?shù)學(xué)建?！膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”“根據(jù)以學(xué)生發(fā)展為本的觀念，新的課程體系必須正確處理教材、老師、學(xué)生三者關(guān)系，要堅(jiān)持加強(qiáng)基礎(chǔ)，要特別重視發(fā)揮學(xué)生主體在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的主動(dòng)和能動(dòng)作用，重視由此導(dǎo)致地從問題出發(fā)、設(shè)計(jì)以解決問題的活動(dòng)為基

3、礎(chǔ)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程?！?、問題的含義問題就是日常的練習(xí)，解決問題就是算法的操練。問題是非常規(guī)的問題，要求學(xué)生通過探索，解決問題。問題是一種狀態(tài)，這種狀態(tài)要求人們?nèi)ネ瓿梢粋€(gè)任務(wù)，而對(duì)于這個(gè)任務(wù)，由他們的經(jīng)驗(yàn)，沒有一個(gè)現(xiàn)成的可供使用的完成任務(wù)的策略。因此，解決問題中的問題，主要指非常規(guī)問題。比較教材中的問題，主要是常規(guī)的問題，所以我們把其稱之為練習(xí)。大部分是一種模仿、操練為主。練習(xí)與解決問題的特征比較練習(xí)的特征解決問題的特征著重尋找答案著重尋

4、找解決問題的過程往往針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或技能點(diǎn)，著重對(duì)某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能進(jìn)行練習(xí)著重思考如何將一般知識(shí)和技巧運(yùn)用到新情況中，具有綜合性的特點(diǎn)可以對(duì)某一類習(xí)題反復(fù)演練解決問題中的“問題”具有新穎性對(duì)思考的要求相對(duì)比較低對(duì)思考的要求相對(duì)比較高一個(gè)問題是不是問題，要看對(duì)象及其背景。3、問題應(yīng)具備的基本條件——接受性、障礙性、探究性接受性：學(xué)生愿意接受這個(gè)問題，并且具備了解決這個(gè)問題所必須具備的知識(shí)、技能與能力。（學(xué)生要感興趣）障礙性：學(xué)生對(duì)解答問題的最

5、初嘗試往往以失敗而告終。探索性：學(xué)生需要對(duì)失敗的嘗試進(jìn)行反思，重新進(jìn)行探索，并排除思維定勢(shì)，尋找新的解決問題的方案。例1：某工程由甲、乙兩隊(duì)承包，522天可以完成，需支付1800元；由乙、丙兩隊(duì)承包，433天可以完成，需支付1500元；由甲、丙兩隊(duì)承包，天762可以完成，需支付1600元，在保證一個(gè)星期內(nèi)完成這項(xiàng)工程的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用最少？例2、有關(guān)買鹽問題：甲每次買1元，乙每次買1斤，哪個(gè)更合算？解：設(shè)每次價(jià)格分別為a元

6、斤，b元斤，c元斤則甲：cba1113??，而乙：3cba??即比較)111)((cbacba????與9之間的大小關(guān)系方法一：基本不等式（兩個(gè)）方法二：基本不等式（三個(gè)）方法三：柯西不等式（先平方）例3：有關(guān)電動(dòng)洗衣機(jī)每次漂洗的水量相同的問題二、解決問題的基本過程1、幾種模式奧蘇貝爾——四階段模式第一階段：呈現(xiàn)問題情景命題第二階段：明確問題最終目標(biāo)與已知條件（最好能建立聯(lián)系，縮小差距）第三階段：填補(bǔ)空隙過程第四階段：解答之后的檢驗(yàn)杜威

7、——五步模式第一步：產(chǎn)生困惑第二步：嘗試從情景中識(shí)別出問題第三步：將問題情景中命題與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來第四步：將假設(shè)作檢驗(yàn)第五步：將成功的答案組合到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中波利亞——“怎樣解決問題”表第一步了解問題？未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？可能滿足條件嗎？畫一個(gè)圖，導(dǎo)入適當(dāng)?shù)姆?hào)第二步找出已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系（假使你不能找出關(guān)系，就得考慮輔助問題，最后應(yīng)想出一個(gè)計(jì)劃）你以前曾見過它嗎？你知道什么有關(guān)的問題么？注視未知數(shù)！試想出

8、一個(gè)相同或相似的未知數(shù)的熟悉的問題這里有一個(gè)與你有關(guān)而且以前解過的問題，你能應(yīng)用它嗎？你若不能解釋這問題，試先解一個(gè)有關(guān)問題，你能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題嗎？一個(gè)更一般的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類似的問題？你能解問題的一部分嗎？你用了全部條件嗎？第三步實(shí)行你的計(jì)劃實(shí)行計(jì)劃實(shí)行你的解題計(jì)劃，校核每一個(gè)步驟第四步驗(yàn)證所得的解答回顧你能驗(yàn)證結(jié)果嗎？你能驗(yàn)證論證嗎？你能用不同的方法得出結(jié)果嗎？你能應(yīng)用這結(jié)果或方法到別的問題上去嗎？求物體

9、的重心？一維空間：一條線段的重心即線段的中點(diǎn)（物理上的重心：線段上的質(zhì)點(diǎn)有質(zhì)量，如天平）兩維空間：三角形的重心即三中線的交點(diǎn)（物理上的重心？）（ABC?的邊BC的重心為其中點(diǎn)D，是2個(gè)單位質(zhì)量，而A是1個(gè)單位質(zhì)量，所以重心在線段AD的三等分點(diǎn)，12?DGAG）數(shù)學(xué)上證明其三線共點(diǎn)由此推廣到三維空間：四面體的重心，先找到底面BCD?的重心G，是3個(gè)單位質(zhì)量，而A是1個(gè)單位質(zhì)量，所以四面體的重心為線段AG的四等分點(diǎn)，13?EGAE）2、解決

10、問題與數(shù)學(xué)思考（1）特殊化與一般化特殊化——考慮特殊情況，取特殊值，簡化問題、作圖作表格等（即一種技巧）小學(xué)：三角形的內(nèi)角和為180度。可以任意畫一個(gè)三角形，并量其角度，得結(jié)論。當(dāng)然也可以剪開，拼成一個(gè)平角。例1、證明：長為l4的封閉曲線L，一定可以用一個(gè)半徑為l的圓把它覆蓋住，并且該圓是所有能覆蓋曲線的圓中的最小一個(gè)圓。特殊：曲線本身是圓，則由lr42??，得llr???2，當(dāng)然能蓋住。曲線是平行四邊形，其對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，lA