[教育]陣列信號處理課件第三章空域濾波：原理及算法

1、1,第三章 空域濾波：原理及算法,目的： 介紹空域波束形成的概念，自適應控制最優(yōu)準則及最優(yōu)權的穩(wěn)態(tài)解，以及最優(yōu)權的求解算法（梯度算法、遞推算法）。,2,陣列天線的波束形成可以采用模擬方式，也可以采用數(shù)字方式，采用數(shù)字方式在基帶實現(xiàn)濾波的技術稱為數(shù)字波束形成(DBF)，是空域濾波的主要形式，在通信中也稱之為智能天線。,§3.1波束形成的基本概念,波束形成：用一定形狀的波束來通過有用信號或需要方向的信號，并抑制不

2、需要方向的干擾。,波束形成的分類,數(shù)據(jù)獨立波束形成,最佳波束形成,自適應波束形成,,,3,§3.1波束形成的基本概念,1. 陣列信號的表示,空間平面波是四維函數(shù)，,,簡化：窄帶條件：同時刻采集信號，所有陣元上信號的復包絡相同，只需考慮相位的變化，而它只依賴于陣列的幾何結構。對于等距線陣，則更簡單，只依賴于與x軸的夾角。如圖3.1,4,如前所述的窄帶信號的空域表示：,若以陣元1為參考點，則各陣元接收信號可寫成：,5,寫成矢量的

3、形式：,稱 為方向矢量或導向矢量（Steering Vector）。在窄帶條件下，只依賴于陣列的幾何結構（已知）和波的傳播方向（未知）。,6,波束形成（Beamforing）,,我們記： ，稱為方向圖。當 對某個方向 的信號同相相加時得 的模值最大。,基本思想：通過將各陣元輸出進行加權求和，在一時間內(nèi)將天線陣列波束“導向”到一個方向上，對

4、期望信號得到最大輸出功率的導向位置給出了波達方向估計。即輸出可以表示為：,目的是：增強特定方向信號的功率。,7,陣列的方向圖,陣列輸出的絕對值與來波方向之間的關系稱為天線的方向圖。方向圖一般有兩類：,,靜態(tài)方向圖：陣列輸出的直接相加（不考慮信號及來波方向），其陣列的最大值出現(xiàn)在陣列法線方向（即 ）,帶指向的方向圖：信號的指向是通過控制加權相位來實現(xiàn)，即常說的相控陣列,8,對于 實際上是空域采樣信號，波束形成實現(xiàn)了對方

5、向角 的選擇，即實現(xiàn)空域濾波。這一點可以對比時域濾波，實現(xiàn)頻率選擇。,,,,等距線陣情況：若要波束形成指向 ，則可取 ，波束形成：,9,則：,上式表示的波束圖有以下特點：,波束成 形狀，其最大值為N。波束主瓣半 功率點寬度為： 。根據(jù) Fourier理論，主瓣寬度正比于天線孔徑的倒數(shù)。,最大副瓣為第一副瓣

6、，且為-13.4dB。這種副瓣 電平對于很多應用來說都太大了，為了降低副瓣， 必須采用幅度加權（又稱為加窗）。,10,天線方向圖，來波方向指向,11,N=8,N=32,,可見隨著陣元數(shù)的增加，波束寬度變窄，分辨力提高，這是因為：,12,波束寬度,在DOA估計中，線陣的測向范圍為 即對于均勻線陣，波束寬度為： 其中D為天線的有效孔徑，可見波束寬度

7、與天線孔徑成反比。,分辨力,目標的分辨力是指在多目標環(huán)境下雷達能否將兩個或兩個以上鄰近目標區(qū)分開來的能力。,波束寬度越窄，陣列的指向性越好，說明陣列的分辨力隨陣元數(shù)增加而變好，故與天線孔徑成反比。,13,14,可見當陣元間距 時，會出現(xiàn)柵瓣，導致空間模糊。,15,類似于時域濾波，天線方向圖是最優(yōu)權的傅立葉變換,按定義的方向圖,,權向量作FFT的結果,16,均勻圓陣（UCA）,,,,,,,,,,,,

8、,,,,,,以均勻圓陣的中心為參考,第m個陣元與x軸的夾角記為：,則M元均勻圓陣的導向矢量：,其中,為圓陣的半徑,17,波束指向：,18,§3.2自適應波束形成技術,§3.2.1 普通波束形成的優(yōu)缺點,優(yōu)點：是一個匹配濾波器，在主瓣方向信號相干積累，實現(xiàn)簡單，在白噪聲背景下它是最優(yōu)的，在色噪聲背景下，維納濾波是最優(yōu)的。,缺點：波束寬度限制了方向角的分辨。存在旁瓣，強干擾信號可以從旁瓣進入。加窗處理可以降低旁

9、瓣，但同時也會展寬主瓣。,總之，普通波束形成依賴于陣列幾何結構和波達方向角，而與信號環(huán)境無關，且固定不變，抑制干擾能力差。,19,§3.2.2 自適應波束形成,自適應波束形成是將維納濾波理論應用于空域濾波中，它的權矢量依賴于信號環(huán)境。,一般框架： 波束形成：,對于平穩(wěn)隨機信號，輸出信號功率為：,定義：陣列信號相關矩陣，,它包含了陣列信號所有的統(tǒng)計知識（二階）。,20,§3.2.3 最優(yōu)波束形成,最優(yōu)波束形成的一般形式

10、：,,最優(yōu)濾波的準則：1.SNR（信噪比）最大準則2.均方誤差最小準則(MSE)3.線性約束最小方差準則(LCMV)4.最大似然準則,,在相同條件下是等價的,21,1.SNR（信噪比）最大準則,如果信號分量 與噪聲分量 統(tǒng)計無關，且各自相關矩陣已知：,其中 為信號功率， 為噪聲功率。,若陣列信號為：,則,輸出功率：,22,則,,SNR（信噪比）最大準則即,23,,根據(jù)瑞利熵

11、，可看出即是求 的最大特征值問題。,SNR最大準則的求解方法：,利用瑞利熵：,24,是矩陣對 的最大廣義特征值對應,即,（廣義特征值分解）,的特征矢量。,25,可見： 是 的最大特征值對應的特征向量。,,幾個特例：,單點源信號：,則有：,在高斯白噪聲條件下，,既是高斯白噪聲，又是單點源信號，則：,26,利用要估計單元周圍的單元來估計噪聲協(xié)方差矩陣，即用參考單元估計。,如何應用SNR準則設計

12、最優(yōu)波束形成器，關鍵在于能否分別計算信號功率和噪聲功率。,eg:,在僅含噪聲（干擾）數(shù)據(jù)時，可以估計出,從而得到,,當既有信號又有噪聲時，,智能天線------擴頻信號,27,最大SNR準則，來波方向 ，干擾方向,28,均方誤差最小準則(MSE),應用條件：需要一個期望輸出（參考）信號 。,,,令,則目標為：,其中 是相關矢量，,是相關矩陣。,

13、29,此求解可利用實函數(shù)對復變量求導法則，得,由公式可看出：應用此方法僅需陣列信號與期望輸出信號的互相關矢量，因此尋找參考信號或與參考信號的互相關矢量是應用該準則的前提。,MSE準則的應用： 1)自適應均衡（通訊） 2) 多通道均衡（雷達） 3)自適應天線旁瓣相消（SLC）,30,加在輔助天線的權矢量獲得好的干擾抑制性能的條件：主天線與輔助天線對干擾信號接收輸出信號相關性較好。,實例：天線旁瓣相消技

14、術(ASC), 如圖3.3,輔助天線（增益小，選取與主天線旁瓣電平相當，無方向性，因此 幾乎僅為干擾信號）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-,主天線,圖3.3,31,干擾方向 ，來波方向,32,3.線性約束最小方差(LCMV)準則,陣列輸出： ,,方差為： （輸出功率）,導向矢量約束

15、為目標信號方向矢量。,求解過程分析：,信號：,則,目的是尋找最優(yōu)的權 。,33,我們可以固定 ，即信號分量就固定了，然后最小化方差，相當于使 的方差最小，所以可得最優(yōu)準則為：,,,,（1可變?yōu)槿我夥橇愠?shù)）,解得：,如果固定 ，則 。,的取值不影響SNR和方向圖。,34,,注意：本準則要求波束形成

16、的指向 已知，而不要求參考信號 和信號與干擾的相關矩陣。,推廣到約束多個方向：一般的線性約束最小方差法為：,解之：,特例：當 ，即約束單個方向，則,,35,可增加穩(wěn)健性。,注：針對白噪聲， 為單位陣， ，此時自適應濾波是無能力的。,實際應用：,當已知目標在 方向，但也可能在 附近，這時可令

17、 ，,結果可把主瓣展寬。,36,在實際中，陣列天線不可避免地存在各種誤差。文獻 Error analysis of the optimal antenna array processors. IEEE Trans.on AES,1986,22(3):395-409對各種誤差（如陣元響應誤差、通道頻率響應誤差、陣元位置擾動誤差、互耦等）的影響進行了分析綜述，基本結論是：對于只利用干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求

18、逆的方法，幅相誤差對自適應波束形成的影響不大；但是對于利用信號加干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求逆的自適應方法，當信噪比較大時，雖然干擾零點位置變化不大，但是 在信號方向上也可能形成零陷，導致信噪比嚴重下降。,37,Capon法波束形成，來波方向 ,干擾方向為,38,來波方向為 ，干擾方向為,不同方法估計協(xié)方差矩陣的Capon法波束形成,39,多點約束的波束形成，來波方向為 ， 和,40,§3.2.4三個

19、最優(yōu)準則的比較,41,,,對比LCMV:,陣列信號,假定已知 且信號 與噪聲 不相關。,SNR：,42,中含有期望信號分量，而 中不含期望信號分量，僅為噪聲分量。,注意：,由矩陣求逆引理：,所以：,43,,,,上式表明：在精確的方向矢量約束條件和相關矩陣精確已知條件下，SNR準則與LCMV準則等效。上述條件若不滿足，應該用 來計算。直接用 求逆計算最優(yōu)權會導致信號相消。,在最

20、優(yōu)波束形成方法中，降低旁瓣電平的方法是加窗處理。,為加窗矩陣。,44,,,MSE：若已知 與 不相關，則,由此看出，上述三個準則在一定條件下是等價的。,45,小結：,自適應波束形成原理如圖3.4,,,,,,,,,,,,1,2,N,,,,,,,,,,,,,,圖3.4,46,實現(xiàn)框圖為圖3.5,,,,,圖3.5,需已知二階統(tǒng)計量,自適應波束形成的特點：,矩陣求逆運算量大，有待于尋找快速算法。,已知,47,

21、7;3.3 自適應算法,分塊算法（批處理方式）SMI 連續(xù)算法（每次快拍單獨計算）LMS,自適應算法,§3.3.1 LMS算法,最小均方(LMS)算法 差分最陡下降(DSD)算法 加速梯度(AG)算法,基于梯度的算法,48,,LMS算法,MSE準則：波束形成：期望輸出：誤差：,49,,EVD:,LMS思想(wi

22、drow提出)：用瞬態(tài)值代替穩(wěn)態(tài)值.,迭代算法：,LMS算法的優(yōu)點：實現(xiàn)簡單,收斂性本質上依賴于 的特征值的分散程度，當,特征值很接近時，可找到一個 使算法快收斂。,嚴重缺陷：收斂性太慢。,50,序號,加速收斂性問題：,對角加載技術：,的特征值一般具有以下結構：(如圖3.7),,,,圖3.7,51,,上式中的第二項為 個大特征值對應的特征矢量的線性組合。 是要求自由度，當 越大，自適應能力越差。,52,對角加載：,易知

23、 的離散程度大于,的離散程度，所以對角加載以后，LMS算法收斂速度加快。,實際實現(xiàn)時是在數(shù)據(jù)域 加入功率一定的白噪聲。注意此過程是在計算權 時進行，而在波束形成時則不需要。,53,兩個信號加白噪聲產(chǎn)生的數(shù)據(jù)的特征分解,54,來波方向 ，干擾方向,55,§3.3.2 SMI（采樣協(xié)方差矩陣求逆）算法,最優(yōu)波束形成：,應不含信號分量，而實際中

24、則是用一批接收數(shù)據(jù) 估計 。,由估計理論：,,此估計是最,即：,SMI算法：,問題是： 取多少合適？SMI算法性能如何?,大似然無偏估計，,56,假設 獨立且同服從高斯分布，,,代入 得,,分析：,是隨機變量，由此計算的也是隨,機變量。,57,,,是一個隨機變量，其,而,所以歸一化信噪比為：,令,概率密度函數(shù)

25、為,,58,,工程一般要求 ，解得 ，即當M大于兩,同樣可以采用對角加載技術來加速收斂速度。在用理論相關矩陣 計算時，只有p個大特征值和特征矢量參與計算，而N-p個小特征值和特征矢量對 沒有貢獻，但是用 計算時，所有特征,倍的自由度時性能損失不超過3db。,59,值和特征矢量都參與計算。通過對角加載可以,的貢獻。,減弱N-p個小特征值及其特征矢量對計算,在對角加載情況下，可得當

26、 時，性能損失不超過3db。,注意：白噪聲下的自適應無意義，因為此時相關矩陣為單位陣，求逆后仍為單位陣。,60,參考文獻：I.S. Reed.Rapid convergence rate in adaptive arrays. IEEE Trans on AES Vol. AES-10, No. 6 1974,在實際工程應用中，估計 時要求是數(shù)據(jù)IID（Independent Identically Distribu

27、tion），有時不可直接獲得。在非均勻樣本情況下，還存在奇異性檢測問題（如STAP）。,61,,幾點說明：,穩(wěn)健的波束形成：是指即使在只有不精確的期望信號的導向矢量可以利用的時候仍能得到良好的輸出信干燥比，而不產(chǎn)生信號相消現(xiàn)象。,研究表明：有限次快拍自適應波束形成中，當相關矩陣中含有信號時，即使陣列流形精確已知，也會造成信干燥比下降。,SMI是開環(huán)算法，在陣列數(shù)據(jù)僅含干擾加噪聲時，數(shù)據(jù)服從零均值、復高斯的IID，則SMI的