[學(xué)習(xí)]概率論完整ppt課件第24講

1、,,前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y), 定義為,⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y),⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、協(xié)方差,2.簡(jiǎn)單性質(zhì),⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常數(shù),Co

2、v(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]},1.定義,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可見(jiàn)，若X與Y獨(dú)立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得,Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]},=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,若X1,X2, …,Xn兩兩獨(dú)立,，上式

3、化為,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù) .,二、相關(guān)系數(shù),為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù) .,在不致引起混淆時(shí)，記 為 .,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,證: 由方差的性

4、質(zhì)和協(xié)方差的定義知,,對(duì)任意實(shí)數(shù)b,有,0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ),D(Y- bX)=,2. X和Y獨(dú)立時(shí)， =0，但其逆不真.,由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,請(qǐng)看下例.,例1 設(shè)X服從(-1/2, 1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cos X,,（請(qǐng)課下自行驗(yàn)證）,因而 =0，,即X和Y不相關(guān) .,但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，,即X和Y不獨(dú)立 .,存在常

5、數(shù)a,b(b≠0），,使P{Y=a+bX}=1，,（詳細(xì)證明自看,見(jiàn)教材 .）,,即X和Y以概率1線性相關(guān).,考慮以X的線性函數(shù)a+bX來(lái)近似表示Y，,以均方誤差,e =E{[Y-(a+bX)]2},來(lái)衡量以a+bX近似表示Y的好壞程度,,e值越小表示 a+bX與Y的近似程度越好.,,用微積分中求極值的方法，求出使e 達(dá)到最小時(shí)的a,b .,相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.,=E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)

6、+2abE(X) - 2aE(Y),e =E{[Y-(a+bX)]2 },解得,這樣求出的最佳逼近為L(zhǎng)(X)=a0+b0X,,這樣求出的最佳逼近為L(zhǎng)(X)=a0+b0X,這一逼近的剩余是,若 =0， Y與X無(wú)線性關(guān)系;,若0<| |<1,,| |的值越接近于1, Y與X的線性相關(guān)程度越高;,| |的值越接近于0, Y與X的線性相關(guān)程度越弱.,E[(Y-L(X))2]=

7、 D(Y)(1- ),請(qǐng)看演示,相關(guān)系數(shù)的直觀意義,稍事休息,但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià),前面，我們已經(jīng)看到：,若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，,但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立.,矩、協(xié)方差矩陣,在數(shù)學(xué)期望一講中，我們已經(jīng)介紹了矩和中心矩的概念.,這里再給出混合矩、混合中心矩的概念.,協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.,稱它為X和Y的k+L階混合（原點(diǎn)）矩.,稱它為X和Y的k+L階混合中心矩.,可

8、見(jiàn)，,協(xié)方差矩陣的定義,,將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個(gè)二階中心矩,排成矩陣的形式:,稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.,類似定義n維隨機(jī)變量(X1,X2, …,Xn) 的協(xié)方差矩陣.,下面給出n元正態(tài)分布的概率密度的定義.,為(X1,X2, …,Xn) 的協(xié)方差矩陣,稱矩陣,,f (x1,x2, …,xn),則稱X服從n元正態(tài)分布.,其中C是(X1,X2, …,Xn) 的協(xié)方差矩陣.,|C|是它的行列式， 表示C的逆矩

9、陣，,X和 是n維列向量， 表示X的轉(zhuǎn)置.,設(shè) =(X1,X2, …,Xn)是一個(gè)n維隨機(jī)向量,若它的概率密度為,n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì),1. X=(X1,X2, …,Xn)服從n元正態(tài)分布,,n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì),2. 若 X=(X1,X2, …,Xn)服從n元正態(tài)分布，,Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的線性函數(shù)，,則(Y1,Y2, …，Yk)也服從多元正態(tài)分布.,這一性質(zhì)稱為正態(tài)

10、變量的線性變換不變性.,,n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì),,,3. 設(shè)(X1,X2, …,Xn)服從n元正態(tài)分布，則,“X1,X2, …,Xn相互獨(dú)立”,等價(jià)于,“X1,X2, …,Xn兩兩不相關(guān)”,例2 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且X~N(1,2),Y~N(0,1). 試求Z=2X-Y+3的概率密度.,,故X和Y的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X和Y的任意線性組合是正態(tài)分布.,解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X與Y獨(dú)立,,D(Z