[學(xué)習(xí)]套利定價(jià)理論(apt)

1、套利定價(jià)理論（APT）,,,,,,一、套利定價(jià)模型1、單因子模型2、多因子模型二、套利定價(jià)模型的進(jìn)一步討論1、APT和CAPM的聯(lián)系與區(qū)別2、關(guān)于模型的檢驗(yàn)問(wèn)題三、對(duì)APT的評(píng)價(jià),一、套利定價(jià)模型,套利是指利用一個(gè)或多個(gè)市場(chǎng)存在的各種價(jià)格差異，在不冒風(fēng)險(xiǎn)或冒較小風(fēng)險(xiǎn)的情況下賺取較高收益率的交易活動(dòng)。套利是市場(chǎng)無(wú)效率的產(chǎn)物，而套利的結(jié)果則促使市場(chǎng)效率提高，使資產(chǎn)價(jià)格重新回歸均衡，因此套利對(duì)市場(chǎng)的正面效應(yīng)遠(yuǎn)超過(guò)負(fù)面效應(yīng)。,

2、套利是利用市場(chǎng)上資產(chǎn)價(jià)格暫時(shí)失衡的機(jī)會(huì),建立數(shù)量相等的多頭和空頭頭寸,獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的行為。因此一旦市場(chǎng)出現(xiàn)了套利機(jī)會(huì)套利者會(huì)盡可能建立大額的套利頭寸,推動(dòng)市場(chǎng)價(jià)格恢復(fù)均衡,迅速消除套利機(jī)會(huì),這正是套利定價(jià)理論的核心思想。,,套利定價(jià)理論的一個(gè)基本假設(shè)：證券的收益率主要受一個(gè)或多個(gè)市場(chǎng)因子影響， 并且如同指數(shù)模型一樣， 假設(shè)證券收益率與這些因子之間具有線性關(guān)系，然后利用無(wú)套利均衡分析方法確定這些市場(chǎng)因子及對(duì)證券收益率的影響。,一、單

3、因子模型 假設(shè)各證券收益率均受一個(gè)市場(chǎng)因子 影響，并且有線性結(jié)構(gòu)，即對(duì)任意證券 的收益率，有 其中: 是影響各證券收益率的因子的收益率; 是因子 收益率為零時(shí)證券 的預(yù)期收益率; 是因子 收益率變化對(duì)證券 收益率的影響程度; 是證券 的收益率為與因

4、子 無(wú)關(guān)的殘差。,,,并假設(shè)有：于是如同單指數(shù)模型一樣以得到證券J的預(yù)期收益率為 其中 表示因子的預(yù)期收益率。,,,，不同證券的殘差不相關(guān),,,,，證券J的殘差與因子I不相關(guān),,,,,,證券J的收益率的方差為 其中： 表示因子 的收益率的方差； 表示殘差 的方差。上式表明任意證券J的風(fēng)險(xiǎn)可分解為因子風(fēng)險(xiǎn) 和非因子風(fēng)險(xiǎn) 兩部分。,,,,,,,

5、,在單因子模型下，證券和證券收益率的協(xié)方差為 對(duì)證券組合，其預(yù)期收益率為,,,證券組合的方差為其中,,,根據(jù)套利定價(jià)思想， 在出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)時(shí)，投資者將構(gòu)造套利組合，來(lái)增加已有投資組合的預(yù)期收益率。之所以稱為套利組合，它應(yīng)具有三個(gè)性質(zhì)： 1、構(gòu)造的套利組合應(yīng)不增加投資者的投資； 2、套利組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，即產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)的因子對(duì)套利 組合的影響程度為零； 3、套利組合的預(yù)期收益率非

6、負(fù)。,,如果用 表示套利組合，則應(yīng)滿足的三個(gè)性質(zhì)可以表示成,,,,投資者通過(guò)構(gòu)造套利組合，賣出收益率被低估的證券而買入收益率被高估的證券。從而使收益率被高估的證券需求增加、 價(jià)格上升，其收益率下降；使收益率被低估的證券供給增加、價(jià)格下降，其收益率回升，直到各證券價(jià)格和收益率重新回歸均衡，即各證券收益率與其影響因子的收益率保持一種合理關(guān)系，套利活動(dòng)也將終止。 而此無(wú)套利均衡下證券收益率與其影響因子收益率的關(guān)系正是下面

7、所要推導(dǎo)的。,投資者套利的目標(biāo)是使套利組合的預(yù)期收益率最大化即尋求以下優(yōu)化問(wèn)題的解 : 利用Lagrange乘數(shù)法 ，建立拉格朗日函數(shù),,,,,要求L的最大值，為此將其對(duì) 及 求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得如下方程組從(A)可以求出使套利組合收益率最大的 與 的關(guān)系,,,,,,（A）,（B）,注意到滿足方程組(A)的套利組合其收益率為可見(B)反映了無(wú)套利均衡條件下證券預(yù)期收益率 與因

8、子影響程度 之間滿足線性關(guān)系，這就是單因子套利定價(jià)模型。,,,,(B)不僅對(duì)單個(gè)證券成立，對(duì)證券組合 也成立，即對(duì)證券組合 ，仍有 如果某證券不滿足(B)，投資者可以構(gòu)造包含該證券的套利組合，使方程組(A)不成立，從而 ,套利成功將迫使證券需求、價(jià)格和收益率向均衡點(diǎn)方向調(diào)整。,,,,,以下討論套利定價(jià)模型(B)中的常數(shù) 的含義,對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)其收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 ,而且它的收益率不受任何風(fēng)險(xiǎn)因子影響

9、，因此對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 。將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)代入模型(B)，則有于是 將其代入(B)得,,,,,,為了考查 的含義，我們構(gòu)造一個(gè)純因子組合 ，其因子影響程度 代入上式可得：上式表明 是因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，即具有單位因子影響程度的證券組合能獲得的超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的那部分預(yù)期收益率。由于純因子組合有多種構(gòu)造方法，用它們構(gòu)造的組合所推得 的應(yīng)該是相同的，因若不同，套利者便可以從中套利，因此因子風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬是惟

10、一的,,,,,,,我們不妨以因子 作為純因子組合的代表，于是可以記于是(B)的套利定價(jià)模型可以寫成 如果將市場(chǎng)投資組合作為純因子， 則套利定價(jià)模型具有如下形式它與CAPM形式完全一樣， 但其導(dǎo)出過(guò)程和思想?yún)s完全不同。,,,,,二、多因子模型多因子模型是假定各證券收益率都受多個(gè)市場(chǎng)因子影響，并具有線性結(jié)構(gòu)，即任意證券 的收益率可表示為 個(gè)因子收益率的線性模型其中：,,,,,與單因子模型類似，這里要假設(shè)如同多

11、指數(shù)模型，在各 不相關(guān)條件下可以得到證券 的預(yù)期收益率為,,,證券 收益率的方差為 證券和的收益率協(xié)方差為,,,,對(duì)于證券組合 ,有其中:,,,,,而,,在套利定價(jià)思想下，投資者構(gòu)造的套利組合滿足的三個(gè)性質(zhì)可以表示成,,套利組合 是以下問(wèn)題的解,,,建立拉格朗日函數(shù) 將 對(duì) 及 求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得到

12、方程組,,,,,,,從中可以求出多因子模型下的套利定價(jià)模型完全仿照單因子模型情形， 通過(guò)分別構(gòu)造僅依賴一個(gè)因子的純因子組合，還可以將上述模型寫成 其中 是 因子 的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬,即使 的單因子證券組合能獲得超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 的那部分超額收益率。,,,,例、證券市場(chǎng)有三個(gè)證券其收益率分別記為 ，經(jīng)驗(yàn)表明，它們受兩個(gè)市場(chǎng)因子 的影響，下表給出了這三個(gè)證券收益率及其與市場(chǎng)

13、因子收益率影響程度的因子 的客觀統(tǒng)計(jì)估計(jì)值：以及 ，如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為,,,,,,,,,,由APT模型，這三個(gè)證券的期望收益率為將APT給出的期望收益率與證券的客觀收益率比較，我們發(fā)現(xiàn)證券1和證券3的客觀估計(jì)值的期望收益率與無(wú)套利條件下的期望收益率相同，因此交易這兩種證券無(wú)套利而言。而證券2卻不同，即 所以通過(guò)賣出適當(dāng)比例的證券1和證券3，

14、并投資于證券2可以構(gòu)成套利組合。,設(shè)證券組合的權(quán)重為 ,根據(jù)套利組合的定義：由此解得此證券組合的存在著套利機(jī)會(huì)，套利收益率為,,,,,二、套利定價(jià)理論的進(jìn)一步討論,一、APT和CAPM的聯(lián)系與區(qū)別 1. APT和CAPM的聯(lián)系當(dāng)取因子為市場(chǎng)投資組合時(shí),APT與CAPM有相同結(jié)果,即APT的定價(jià)模型恰好是CAPM中的證券市場(chǎng)線,二者是一致的。但這并不意味著CAPM模型是多因子APT模型的特殊(單因子)情

15、形,實(shí)際上默頓于1975年和布雷頓于1979年都討論過(guò)CAPM的多因素模型。,在APT單因子模型中，如果選擇的因子 并非市場(chǎng)投資組合而得到單因子APT模型:而CAPM得到的單因子模型(證券市場(chǎng)線)為: 這兩個(gè)模型并不一致，但如果因子 與市場(chǎng)投資組合的收益率完全相關(guān)且同方差，則可以得出 ，這時(shí)可以以 因子替代市場(chǎng)投資組合，例如某一市場(chǎng)指數(shù)與市場(chǎng)投資組合收益率完全相關(guān)且同方差，則可以用該指數(shù)代替市場(chǎng)投資組合。,,,,,

16、,,,2. APT和CAPM的區(qū)別兩者最大區(qū)別在于雖然模型的線性形式相同，但建模思想不同。CAPM模型是建立在市場(chǎng)均衡的基礎(chǔ)上，以市場(chǎng)投資組合存在為前提。,,,,CAPM模型假定投資者對(duì)市場(chǎng)中證券的收益率有相同的認(rèn)識(shí)，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的風(fēng)險(xiǎn)偏好不同，從而可以建立起最小方差集合、有效集合;每個(gè)投資者都建立有效的投資組合以分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，并根據(jù)自己對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好在存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，建立無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與市場(chǎng)投資組合的投資組

17、合在不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，建立零 資產(chǎn)與市場(chǎng)投資組合的投資組合，這導(dǎo)出每個(gè)證券的收益率與其風(fēng)險(xiǎn)系數(shù) 具有線性關(guān)系,,APT模型是建立在無(wú)套利均衡分析基礎(chǔ)上，它的出發(fā)點(diǎn)是通過(guò)少數(shù)投資者構(gòu)造大額無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利頭寸，迫使市場(chǎng)重建均衡，以消除市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，導(dǎo)出單個(gè)證券收益率與其影響因子 的影響程度之間的線性關(guān)系。因此APT理論并不需CAPM那么多關(guān)于市場(chǎng)的假設(shè)條件，也不需要CAPM中關(guān)于證券收益率分布的假設(shè)，但APT模型中關(guān)于證券收

18、益率的線性生成結(jié)構(gòu)假設(shè)卻是CAPM模型所沒有要求的。,,,二、關(guān)于模型的檢驗(yàn)問(wèn)題APT對(duì)CAPM提出的直接挑戰(zhàn)是CAPM無(wú)法進(jìn)行檢驗(yàn)，其根源在于CAPM中的市場(chǎng)投資組合包括的資產(chǎn)范圍太廣，以致于無(wú)法通過(guò)觀測(cè)取得其收益率，在模型的應(yīng)用中，常以某些市場(chǎng)綜合指數(shù)近似代替市場(chǎng)投資組合，這樣既使市場(chǎng)綜合指數(shù)的收益率可以觀測(cè)，其對(duì)模型的檢驗(yàn)也很難對(duì)CAPM模型給出肯定或否定的結(jié)論。,,而APT模型的檢驗(yàn)取決于因子的選擇， 通常在APT模型中選取的

19、因子可以分為三類：第一類即宏觀經(jīng)濟(jì)因子，如GDP、通貨膨脹率、利率、工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)等；第二類是微觀因子，如盈利增長(zhǎng)率、股利增長(zhǎng)率等；、第三類即市場(chǎng)因子，如一些市場(chǎng)指數(shù)或有關(guān)的 因子等。只要選擇的因子收益率可以觀測(cè)， 則相應(yīng)地可以建立APT的檢驗(yàn)。,,最后要注意，套利定價(jià)模型沒有指出證券的收益率生成結(jié)構(gòu)中應(yīng)包括幾個(gè)因子，也沒有規(guī)定這些因子是什么，因此建立APT模型，依賴于投資者的經(jīng)驗(yàn)與判斷力去選擇因子，通常因子個(gè)數(shù)由因子分析方法檢

20、驗(yàn)認(rèn)為取3-5個(gè)為最好。,最后要注意，套利定價(jià)模型沒有指出證券的收益率生成結(jié)構(gòu)中應(yīng)包括幾個(gè)因子，也沒有規(guī)定這些因子是什么，因此建立APT模型，依賴于投資者的經(jīng)驗(yàn)與判斷力去選擇因子，通常因子個(gè)數(shù)由因子分析方法檢驗(yàn)認(rèn)為取3-5個(gè)為最好。,三、APT的評(píng)價(jià),優(yōu)點(diǎn)(1) 不要求市場(chǎng)組合的方差/均值有效。 APT 不要求以 CAPM 的嚴(yán)格假設(shè)——投資者都要遵循均值—方差原則為基礎(chǔ)。事實(shí)上, APT 對(duì)于均衡的描述比CAPM 更

21、一般化價(jià)格不再僅僅受到均值何方差的影響。(2) 不要求市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)。 APT 的機(jī)制就是在給定證券的產(chǎn)生過(guò)程, 從套利論證中推導(dǎo)出資產(chǎn)價(jià)格。理性的投資者會(huì)消除套利行為并使市場(chǎng)恢復(fù)均衡狀態(tài), 從而推導(dǎo)出資產(chǎn)的預(yù)期收益, 最終得到資產(chǎn)的價(jià)格。(3) 認(rèn)為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)受多因素影響, 有利于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)構(gòu)研究。 APT 詳細(xì)的分解了證券風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)的各種構(gòu)成因素, 并分析了大量的宏觀經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)因素。分解及分析

22、方法有助于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)構(gòu)研究。,局限(1) 模型結(jié)構(gòu)模糊。 APT 并沒有對(duì)因素的數(shù)量及其代表的含義進(jìn)行說(shuō)明,僅用m 表示, 所以, 以及 的識(shí)別主要依靠計(jì)算及判斷。(2) 實(shí)證檢驗(yàn)非常困難。 就目前而言, 對(duì) APT 的實(shí)證研究還停留在早期階段。APT 的檢驗(yàn)尤其難以設(shè)計(jì)。因?yàn)?APT 本身只是說(shuō)明了資產(chǎn)定價(jià)的一個(gè)結(jié)構(gòu)。 APT 模型具有一系列優(yōu)點(diǎn),它并沒有完全占有支配C