矩陣的定義

1、矩陣的定義,由 個(gè)數(shù)排成的 行 列的數(shù)表,稱為 矩陣.簡稱 矩陣.,記作,簡記為,,(m=n)主對角線,,(m=n)副對角線,例如,是一個(gè) 矩陣,,是一個(gè) 矩陣,,是一個(gè) 矩陣,,是一個(gè) 矩陣.,2024/3/26,4,同型矩陣與矩陣相等的概念,1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣(Same Size).,例如,為同型矩陣.,四

2、. 矩陣的代數(shù)運(yùn)算,矩陣的加法(Addition)數(shù)與矩陣相乘(Scalar Multiplication)矩陣與矩陣相乘(Matrix Multiplication)矩陣的其它運(yùn)算,１、定義,矩陣的加法,設(shè)有兩個(gè) 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為,說明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算

3、.,例如,2、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律,1、定義,數(shù)與矩陣相乘,2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律,矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.,（設(shè) 為 矩陣， 為數(shù)）,矩陣的加法滿足交換律，結(jié)合律.,用數(shù)k去乘矩陣A的所有元素得到的矩陣.,數(shù)乘矩陣滿足結(jié)合律，分配律.,………結(jié)合律,………分配律,1.矩陣的加、減法,2.矩陣的數(shù)乘,總結(jié),定義 矩陣的乘法,,,,注：矩陣相乘(A?B)必須滿足: A

4、的列數(shù)等于B的行數(shù).,例１,設(shè),例2,,,,,,,故,解,注意　只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.,例如,不存在.,矩陣乘法的性質(zhì)：,AB有意義，而BA可能無意義；一般，AB?BA.,注：矩陣乘法不滿足交換律.,Key:不對,只有AB=BA,即A,B可交換時(shí)才成立.,定義 把矩陣 的行與列互換得到的n×m 矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .

5、 (the transpose of A),矩陣的轉(zhuǎn)置( Transpose of Matrix),,,矩陣的其它運(yùn)算,轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)：,注意順序,例 已知,解法1,解法2,練 習(xí),由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表,定義,即,,,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計(jì)算,,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.,,

6、,,,,,對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．,說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式．,例,解,按對角線法則，有,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.,小結(jié),三、n 階行列式,定義,(Determinant),說明,1、 行列式是一種特定的算式，可以展開得到一個(gè)具體的數(shù)值。它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;,2、 一階行列式

7、 不要與絕對值記號相混淆;,,行列式和矩陣的區(qū)別和聯(lián)系,行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.,行列式的計(jì)算,———行列式按行（列）展開,二階行列式，三階行列式的計(jì)算 ———對角線法則,n階行列式的計(jì)算,例如,,,,,,,,,,,一、余子式(cofactor)與代數(shù)余子 式(algebraic cofactor),叫做元素 的代數(shù)余子式．,

8、,例如,,,,,,,定理5.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,二、行列式的計(jì)算 ——按行（列）展開法則,降階,降階,按第二列展開更好!,練 習(xí),Key:(1)-33(按第二列展開); (2)8(按第二列展開).,例,解,方程左端,例4 當(dāng)k為何值時(shí), D=0?,解,所以當(dāng) k=5或 k=1時(shí), D=0 .,行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算

9、的重要工具.,三、小結(jié),矩陣的初等行變換的應(yīng)用可化矩陣為階梯形矩陣和行簡化階梯形矩陣求矩陣的秩,矩陣的初等行變換,矩陣的初等行變換,利用矩陣的初等行變換來化簡矩陣,簡而言之就是:每行開始的零元素逐行增多,且任意兩行首非零元不能位于同一列.,,,,,,,,,不是階梯型矩陣,是階梯型矩陣,,,,,,,,,是行簡化階梯型矩陣,不是行簡化階梯型矩陣,,,階梯形矩陣:對角矩陣,數(shù)量矩陣,單位矩陣,行簡化階梯形矩陣:單位矩陣,例1,,,,,行

10、簡化階梯形,,A是非奇異矩陣,求矩陣A的階梯形和行簡化階梯形矩陣.,例2,,,,,練習(xí),,,,,階梯形,行簡化階梯形,,,利用矩陣的初等行變換來求矩陣的秩,矩陣秩的概念,矩陣 A的秩是指將A化為階梯形矩陣B后, 其所含非 0 行的行數(shù)稱為矩陣的秩,記作秩(A) 或 r(A).,初等變換求矩陣秩的方法：,把矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.,解 將矩陣作初等變換,所以 r(A)=3,例2.求矩陣A的

11、秩:,練習(xí):,練習(xí),,設(shè)線性方程組,一般的線性方程組,表示方法：增廣矩陣形式為（A B),,增廣矩陣,則稱此方程組為非,齊次線性方程組;,此時(shí)稱方程組為,齊次線性方程組，,其矩陣方程形式為 AX=0,,怎樣判斷一般線性方程組有沒有解; 如果有解怎樣求出它的解; 求出的解有幾種可能;,要解決:,,,高斯消元法,用高斯消元法(Gaussian elimination)解一般的線性方程組線性方程組解的判定,引例,用加減消元

12、法求解線性方程組,,解,,,,,,,,,,,用“回代”的方法求出解：,,,,于是解得,x3稱為自由未知量,由自由未知量表達(dá)方程組的解稱為一般解或通解.,自由未知量的選取不唯一,方程組的一般解表示該方程組有無窮多組解.,小結(jié)：,1．上述解方程組的方法稱為消元法．,2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換,（1）交換方程次序；,（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；,（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．,,,,,,因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q