第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用洛必達(dá)法則微分中值定理微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用函數(shù)的最大(小)值曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與極值彈性問題最優(yōu)化問題邊際問題函數(shù)圖像的描繪3.1數(shù)學(xué)家的故事:法國最有成就的數(shù)學(xué)家—拉格朗日(Lagrange)拉格朗日法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及天文學(xué)家.1736年1月25日生于意大利西北部的都靈1755年19歲的他就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授1766年應(yīng)德國的普魯士王腓特烈的邀請去了柏林不久便成為柏

2、林科學(xué)院通訊院院士在那里他居住了達(dá)二十年之久1786年普魯士王腓特烈逝世后，他應(yīng)法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎其間出任法國米制委員會主任并先后于巴黎高等師范學(xué)院及巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授最后于1813年4月10日在巴黎逝世.拉格朗日一生的科學(xué)研究所涉及的數(shù)學(xué)領(lǐng)域極其廣泛.如:他在探討“等周問題”的過程中他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法為變分法奠定了理論基礎(chǔ)他完成的《分析力學(xué)》一書建立起完整和諧的力學(xué)體系他的兩篇著名的論

3、文:《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》總結(jié)出一套標(biāo)準(zhǔn)方法即把方程化為低一次的方程(輔助方程或預(yù)解式)以求解但這并不適用于五次方程然而他的思想已蘊(yùn)含著群論思想圖3.1如圖3.1所示若在閉區(qū)間上的連續(xù)曲線其上每一點(diǎn)（除端點(diǎn)外）[]ab()yfx?處都有不垂直于軸的切線且兩個端點(diǎn)、的縱坐標(biāo)相等那么曲線上至xAB()yfx?少存在一點(diǎn)使曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行即導(dǎo)數(shù)為零.CCx事實上由于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值與最小值以上

4、點(diǎn)[]ab()yfx?就是該曲線的最大值或最小值處.C二、拉格朗日（Lagrange）中值定理羅爾定理中的第三個條件相當(dāng)特殊如果去掉這個條件而保留其余兩個????bfaf?條件可以得到一個在微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理.【定理2】若函數(shù)滿足條件:()yfx?（1）在閉區(qū)間上連續(xù)[]ab（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)()ab則至少存在一點(diǎn)使.()ab??abafbff???)()()(?下面來考察一下拉格朗日中值定理的幾何意義:如圖3.2所示