[理學(xué)]第三章-第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與積分

1、96第三章第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章將利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，并討論如何求函數(shù)的極值和最大最小值等問題，研究以上問題的理論基礎(chǔ)，就是微分中值定理。第一節(jié)第一節(jié)微分中值定理微分中值定理一、一、羅爾定理羅爾定理定理定理1如果函數(shù)如果函數(shù)滿足滿足()fx（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間上連續(xù)；上連續(xù)；??ab（2）在開區(qū)間）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；??ab（3）在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值相等）在區(qū)間兩個(gè)

2、端點(diǎn)處的函數(shù)值相等即.()()fafb?則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)，使得，使得.???ab???0?f?證參見圖31.由于在上連續(xù)，故在上必有最大值和最小值()fx??ab()fx??abM.m(1)如果，那么在上為常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，故內(nèi)任何?Mm()fx??ab??ab點(diǎn)都可作為.?(2)如果，那么，最大值與最小值至少有一個(gè)在內(nèi)取到，不妨假設(shè)在?Mm??ab內(nèi)某點(diǎn)處下證.??ab?x????fM???0?f?由于是在上的最大值

3、，所以對(duì)于任意均有???fM?()fx??ab[]xab????.???????fxf??當(dāng)時(shí)，必有0??x，??????0lim0??????????xfxffxx??，??????0lim0??????????xfxffxx??98證由題設(shè)條件易知在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)且即()Fx??12??12????120FF????Fx在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使得??12??12??.??0?F?又因?yàn)樵谏线B續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)且??22(1)()(

4、1)()Fxxfxxfx????[1]?(1)?故再由羅爾定理可知至少存在一點(diǎn)，使得(1)0()FF???????112????.??0?F?證畢.二、二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理2如果如果滿足滿足??fx(1)(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)上連續(xù)??ab(2)(2)開區(qū)間在開區(qū)間在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).??ab則必有則必有，使得，使得???ab?.???????????fbfafba?分析分析假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形是連續(xù)光滑曲線