中國(guó)人民大學(xué)出版社第四版高等數(shù)學(xué)一第3章課后習(xí)題詳解

1、第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容概要內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）名稱條件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在)(xfy?][ab內(nèi)可導(dǎo)；（3）)(ab)()(bfaf?至少存在一點(diǎn)使得)(abξ?0)(?ξf拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在)(xfy?][ab內(nèi)可導(dǎo))(ab至少存在一點(diǎn)使得)ba(??)(ξfabafbf???)()(3.1中值定理柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在)(xf)(xg][ab內(nèi)可導(dǎo)；

2、（2）在內(nèi)每點(diǎn)處)(ab)(ab0)(?xg至少存在一點(diǎn)使得)(abξ?abafbfξgξf???)()()()(基本形式型與型未定式00??通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；???00??2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：??000??或；00010?????010???????3.2洛必達(dá)法則取對(duì)數(shù)化為基本形式1）型：取對(duì)數(shù)得，其中0000ln00e??或；000ln0010???????0ln0010

3、?????????2）型：取對(duì)數(shù)得，?1ln11e????其中00ln1010????????或；ln1010??????????3）型：取對(duì)數(shù)得，0?????ln00e其中000ln010????????或。0ln010??????????解：要使，只要，從而即為滿足定(2)(1)()21fffξ????33154154ξ????315(12)4ξ??理的。?★★★★4.試證明對(duì)函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)總是位于區(qū)間的正中間

4、。rqxpxy???2ξ證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，][abrqxpxy???2][ab)(ab從而有，即，()()()fbfafξba????abrqaparqbpbqξ????????)()(222解得，結(jié)論成立。2abξ??★5.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請(qǐng)求出3)(xxf?1)(2??xxg]21[滿足定理的數(shù)值。ξ知識(shí)點(diǎn)：柯西中值定理。思路思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求

5、解方程，得到的根便為所求。()()()()()()fξfbfagξgbga?????ξ解：∵及在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)的每一點(diǎn)處有3)(xxf?2g()1xx??]21[)21()21(，所以滿足柯西中值定理的條件。要使，只要，()20gxx???()(2)(1)()(2)(1)fξffgξgg?????37232?ξξ解得，即為滿足定理的數(shù)值。)21(914ξ??ξ★★★★★★6.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。求證：)(xf]10[)1

6、0(0)1(?f存在，使。)10(ξ?()()fξfξξ???知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路思路：從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)為ξξfξf)()(??0)()(??ξfξξf，然后再利用羅爾中值定理，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時(shí))()(xfxxf?常用的方法。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，)()(xxfxF?()()()Fxfxxfx????根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，)()(xxfxF?]10[)10(0