李錦旭(數(shù)列型不等式放縮技巧九法)

1、1數(shù)列型不等式的放縮技巧九法數(shù)列型不等式的放縮技巧九法山東省臨沭縣實驗中學山東省臨沭縣實驗中學李錦旭（李錦旭（276700）證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試

2、題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：一利用重要不等式放縮利用重要不等式放縮1均值不等式法均值不等式法例1設求證求證.)1(3221???????nnSn?.2)1(2)1(

3、2????nSnnn解析解析此數(shù)列的通項為此數(shù)列的通項為.21)1(nkkkak????，，2121)1(???????kkkkkk?)21(11????????nknnkkSk即.2)1(22)1(2)1(2???????nnnnSnnn注：注：①應注意把握放縮的應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成，若放成則得則得，就放過，就放過2baab??1)1(???kkk2)1

4、(2)3)(1()1(21?????????nnnkSnkn“度”了！了?、诟鶕?jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里naanaaaaaannnnnn22111111?????????????其中，其中，等的各式及其變式公式均可供選用。等的各式及其變式公式均可供選用。32?n例2已知函數(shù)已知函數(shù)，若，若，且，且在[0，1]上的最小值為上的最小值為，bxaxf211)(??

5、?54)1(?f)(xf21求證：求證：（02年全國聯(lián)賽山東預賽題）年全國聯(lián)賽山東預賽題）.2121)()2()1(1???????nnnfff?簡析簡析)2211()()1()0(22114111414)(???????????????nffxxfxxxx?.2121)21211(41)2211()2211(112?????????????????nnnnn??例3求證求證.)1(221321NnnnCCCCnnnnnn???????

6、???簡析簡析不等式左邊不等式左邊?????nnnnnCCCC?32112222112???????nn?=，故原結論成立，故原結論成立.nnn122221????????212??nn2利用有用結論利用有用結論例4求證求證.12)1211()511)(311)(11(???????nn?簡析簡析本題可以利用的有用結論主要有：本題可以利用的有用結論主要有：法1利用假分數(shù)的一個性質(zhì)利用假分數(shù)的一個性質(zhì)可得可得)00(??????mabma

7、mbab????122563412nn?????nn212674523?)12(212654321?????nnn?即?12)122563412(2?????nnn?.12)1211()511)(311)(11(???????nn?3例7已知不等式已知不等式表示不超過表示不超過].[log2][log211312122nnNnnn????????的最大整數(shù)。設正數(shù)數(shù)列的最大整數(shù)。設正數(shù)數(shù)列滿足：滿足：n2logna.2)0(111???

8、????nannaabbannn求證求證（0505年湖北卷第（年湖北卷第（2222）題））題）.3][log222???nnbban簡析簡析當時，即，即2?nnaaanaannaannnnnnn11111111????????????naann1111???于是當于是當時有時有.1)11(212kaankkknk????????3?n???][log211121naan.][log222nbban??注：注：①本題涉及的和式本題涉及的和

9、式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可n13121????以利用所給題設結論以利用所給題設結論來進行有效地放縮；來進行有效地放縮；][log21131212nn?????②引入有用結論在解題中即時應用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，引入有用結論在解題中即時應用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，有利于培養(yǎng)學生的學習能力與創(chuàng)新意識。有利于培養(yǎng)學生的學習能力與創(chuàng)新意識。例8設，求證：數(shù)列，

10、求證：數(shù)列單調(diào)遞增且單調(diào)遞增且nnna)11(??na.4?na解析解析引入一個結論：若引入一個結論：若則（證略）（證略）0??ab)()1(11abbnabnnn??????整理上式得整理上式得（），以，以代入（代入（].)1[(1nbanbann?????nbna11111?????）式得）式得即單調(diào)遞增。單調(diào)遞增。?????1)111(nn.)11(nn?na以代入（代入（）式得）式得nba2111????.4)211(21)21

11、1(12??????nnnn此式對一切正整數(shù)此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列，又因為數(shù)列單調(diào)單調(diào)n4)11(??nnna遞增，所以對一切正整數(shù)遞增，所以對一切正整數(shù)有。n4)11(??nn注：注：①上述不等式可加強為上述不等式可加強為簡證如下：簡證如下：.3)11(2???nn利用二項展開式進行部分放縮：利用二項展開式進行部分放縮：.1111)11(221nnnnnnnnCnCnCna??????

12、????只取前兩項有只取前兩項有對通項作如下放縮：對通項作如下放縮：.2111????nCann.212211!111!111????????????kkknknknnnnnknC??故有故有.3211)21(121221212111112??????????????nnna?②上述數(shù)列上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：；同時是下述試題的背景：已知nae是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明nmi.1n