函數(shù)圖像的切線問題

1、高二數(shù)學(xué) 學(xué)案 編號 1 函數(shù)圖像的切線問題 要點(diǎn)梳理歸納 1. 1.求曲線 求曲線 y＝f(x) f(x)的切線方程的三種類型及 的切線方程的三種類型及其方法 方法 (1)已知切點(diǎn) P(x0，f(x0))，求 y＝f(x)在點(diǎn) P 處的切線方程： 切線方程為 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)已知切線的斜率為 k，求 y＝f(x)的切線方程： 設(shè)切點(diǎn)為

2、 P(x0，y0)，通過方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程. (3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))A(s,t)，求 y＝f(x)的切線方程： 設(shè)切點(diǎn)為 P(x0， y0)， 利用導(dǎo)數(shù)將切線方程表示為 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 再將 A(s,t)代入求出 x0. 2．兩個函數(shù)圖像的 兩個函數(shù)圖像的公切線 公切線 函數(shù) y=f(x)與函數(shù) y=g(x) 存在公切線， 若切點(diǎn)為同一點(diǎn) P(x0，y0)，則有 ?

3、? ? ? ?f′?x0?＝g′?x0?，f?x0?＝g?x0?.若切點(diǎn)分別為(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),則有2 12 12 1) ( ) ( ) ( ) ( x xx g x f x g x f ? ? ? ? ? ? . 題型分類解析 題型 題型一 已知切線經(jīng)過的點(diǎn) 已知切線經(jīng)過的點(diǎn)求切線方程 求切線方程 例 1.求過點(diǎn) (2,2) P 與已知曲線 3 : 3 S y x x ? ? 相切的切線方程. 解：點(diǎn)

4、P 不在曲線 S 上. 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)? ? 0 0 , x y ，則 30 0 0 3 y x x ? ? ，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 2 ' 3 3 y x ? ? ， 切線的斜率為020 ' 3 3 x x k y x ? ? ? ? ， 20 0 0 (3 3 )( ) y y x x x ? ? ? ? ? 切線方程為 ， 點(diǎn) (2,2) P 在切線上， 20 0 0 2 (3 3 )(2 ) y x x ? ? ? ? ?

5、 ，又 30 0 0 3 y x x ? ? ，二者聯(lián)立高二數(shù)學(xué) 學(xué)案 編號 3 ?切線方程為： 1 1 ln2 4 4 ln2 1 2 y x y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)? ? 0 0 , x y? ?'001 2 f x x ? ? ? ，直線 3 0 x y ? ? ? 的斜率為1 ? ?'0 001 1

6、 2 1 3 f x x x ? ? ? ? ? ? ? ?而 ? ? 0 0, x ? ?? 013 x ? ? ? 不在定義域中，舍去 ?不存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線與直線 3 0 x y ? ? ? 垂直 例 5.函數(shù) ? ?2 ln f x a x bx ? ? 上一點(diǎn) ? ? ? ? 2, 2 P f 處的切線方程為 3 2ln2 2 y x ? ? ? ? ，求 , a b的值 思路： 本題中求 , a b的值， 考慮尋找

7、兩個等量條件進(jìn)行求解， P 在直線 3 2ln2 2 y x ? ? ? ?上， 3 2 2ln2 2 2ln2 4 y ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 ? ? 2 =2ln2 4 f ? ，得到 , a b 的一個等量關(guān)系，在從切線斜率中得到 2 x ? 的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而得到 , a b 的另一個等量關(guān)系，從而求出 , a b 解： P 在 3 2ln2 2 y x ? ? ? ? 上， ? ? 2 3 2 2ln2 2 2ln

8、2 4 f ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ln2 4 2ln2 4 f a b ? ? ? ? ?又因?yàn)?P 處的切線斜率為 3 ? ? ?' 2 a f x bx x ? ?? ?' 2 4 3 2a f b ? ? ? ? ? , ln2 4 2ln2 4 21 4 3 2a b aa b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例 6.設(shè)函數(shù) ? ? ? ?3 2