圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型

1、2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型定點問題是常見的出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點問題通法，是設(shè)出直線方程，通過韋達定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的

2、載體，自身存在很多性質(zhì)，這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識這些常見的結(jié)論，那么解題必然會事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的幾種定點模型：模型一：模型一：“手電筒手電筒”模型模型例題、例題、（07山東）山東）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點13422??yxmkxyl??：（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的l坐標(biāo)。解：解：設(shè)，由得，1122()()Axy

3、Bxy223412ykxmxy???????222(34)84(3)0kxmkxm?????，22226416(34)(3)0mkkm??????22340km???212122284(3)3434mkmxxxxkk????????22221212121223(4)()()()34mkyykxmkxmkxxmkxxmk????????????以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且，?(20)D1ADBDkk???，，1212122yyxx??

4、????1212122()40yyxxxx?????，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk?????????整理得：，解得：，且滿足2271640mmkk???12227kmkm????22340km???當(dāng)時，，直線過定點與已知矛盾；2mk??:(2)lykx??(20)當(dāng)時，，直線過定點27km??2:()7lykx??2(0)7綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為l2(0).7◆方法總結(jié)：方法總結(jié)：本題為“

5、弦對定點張直角弦對定點張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點。（參考百度文庫文章：“圓錐曲線))()((2222022220babaybabax????的弦對定點張直角的一組性質(zhì)”）◆模型拓展：模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒手電筒”模型：模型：只要任意一個限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會過定點（因為三條直線形似手電筒，固名曰手電筒??BPAPkk??BPAPk

6、k模型）。（參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié)）此模型解題步驟：Step1：設(shè)AB直線，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；mkxy???Step2：由AP與BP關(guān)系（如），得一次函數(shù)；1???BPAPkk)()(kfmmfk??或者Step3：將代入，得。)()(kfmmfk??或者mkxy??定定yxxky???)(◆遷移訓(xùn)練遷移訓(xùn)練練習(xí)練習(xí)1：過拋物線M:上一點P（12）作傾斜角互補的直線PA與PB，交M于A、B兩點，

7、pxy22?線是否過定點？試證明你的結(jié)論.DE【解】（1）設(shè)（5分）.41)1(||||)(222xyxyxCBPBBCPCyxP????????化簡得得代入).21(14)2()2(2的坐標(biāo)為點得代入將AmxymA???044422??????tmtyxytmyxDE得代入的方程為設(shè)直線）（（，則設(shè)016)444)()(221212211??????????tmtyymyyyxEyxD4)(21)()2)(2()1)(1(212121

8、212121?????????????????yyyyxxxxyyxxAEAD5)(2)44(44212122212221?????????yyyyyyyy5)(242)(16)(212121221221???????????yyyyyyyyyymmttmttmt845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222??????????????化簡得)1(23)1(43484962222?????????????mtmtmmtt）

9、即（即01252????????）式檢驗均滿足代入（或mtmt1)2(5)2(???????ymxymxDE或的方程為直線））不滿足題意，定點（（過定點直線21).25(??DE練習(xí)練習(xí)7：已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線xyC4:2?l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.（I）證明:為定值OMOP??????????（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；25OMOP

10、（Ⅲ）證明直線PQ恒過一個定點.解：（I）設(shè)點、M、A三點共PyyPyyM?)4()4(222121線，4414222121211yyyyyykkDMAM??????即4142121211?????yyyyyy即.544212221??????yyyyOPOM(II)設(shè)∠POM=α，則.5cos||||????OPOM由此可得tanα=1..5sin||||25???????OPOMSROM?又.4545)0(?????的夾角為與故向量