線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、1第十章線性代數(shù)簡介本章知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖數(shù)學(xué)家的故事:阿瑟凱利簡介阿瑟凱利（ArthurCayley，1821~1885）是英國數(shù)學(xué)家，生于倫敦里士滿(Richmond)，卒于劍橋。17歲時考入劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)，幾年內(nèi)發(fā)表論文數(shù)十篇。1846年轉(zhuǎn)攻法律學(xué)，三年后成為律師，工作卓有成效。任職期間，他仍業(yè)余研究數(shù)學(xué)，并結(jié)識數(shù)學(xué)家西爾維斯特(Sylvester)。1863年應(yīng)邀返回劍橋大學(xué)任數(shù)學(xué)教授。他得到牛津大學(xué)、都伯林大

2、學(xué)和萊頓大學(xué)的名譽學(xué)位。1859年當選為倫敦皇家學(xué)會會員。凱利和西爾維斯特同是不變量理論的奠基人。在布爾1841年的工作的影響下，他首創(chuàng)代數(shù)不變式的符號表示法，給代數(shù)形式以幾何解釋，然后再用代數(shù)觀點去研究幾何學(xué)。他第一次引入n維空間概念，詳細討論了四維空間的性質(zhì)，為復(fù)數(shù)理論提供佐證，并為射影幾何開辟了道路。他還首先引入矩陣概念以化簡記號，規(guī)定了矩陣的符號及名稱，討論矩陣性質(zhì)，被公認為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨立的數(shù)學(xué)對象研究時，

3、許多與矩陣有關(guān)的性質(zhì)已經(jīng)在行列式的研究中被發(fā)現(xiàn)了，這也使得凱利認為矩陣的引進是十分自然的。他說：“我決然不是通過四元數(shù)而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達線性方程組的方便方法而來的?！彼麖?858年開始，發(fā)表了《矩陣論的研究報告》等一系列關(guān)于矩陣的專門論文，研究了矩陣的運算律、矩陣的逆以及轉(zhuǎn)置和特征多項式方程。凱利還提出了凱利哈密爾頓定理，并驗證了33矩陣的情況，又說進一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了44

4、矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius）于1898年給出的。線性代數(shù)行列式的定義與性質(zhì)行列式的定義與性質(zhì)矩陣及其運算矩陣及其運算逆矩陣逆矩陣矩陣的初等變換及矩陣的秩矩陣的初等變換及矩陣的秩線性方程組線性方程組定義、性質(zhì)矩陣可逆的充要條件行初等變換矩陣方程的求解矩陣的秩n元線性方程組的求解線性方程組有解判別定理矩陣轉(zhuǎn)置運算規(guī)律矩陣乘法運算規(guī)律同型矩陣的運算逆矩陣的求法3三、逆矩陣三、逆矩陣1.定

5、義：若，則、互為逆矩陣，記，。AB=EAB1??AB1??BA2.性質(zhì)：(1)若可逆，則可逆，且。A1?A??11???AA(2)若可逆，，則可逆，且。A0k?kA??111kk???AA(3)若矩陣與都可逆，則可逆，且。ABAB??111????ABBA(4)若可逆，則可逆，且。ATA????11TT???AA3.矩陣可逆的充分必要條件：。當時，。0?A0?A112111222211211nnnnnnAAAAAAAAA????????

6、??????????????AAAA4.解矩陣方程：(1)；(2)；(3)；1??AX=CX=AC1??XB=CX=CB11???AXB=CX=ACB(4)。???????????AX=BABEX行初等則則則四、矩陣的初等變換及矩陣的秩四、矩陣的初等變換及矩陣的秩1.階梯形矩陣：(1)如果有零行的話，零行位于矩陣下方；(2)各個非零行的第一個非零元素的列標隨著行標的遞增而嚴格增大。注：一個矩陣的階梯形矩陣不是唯一的，但階梯形矩陣中所含非

7、零行的行數(shù)是唯一的。2.行最簡形矩陣：每一非零行的第一個非零元素都是1，并且這些1所在列其余元素都是0。3.矩陣的秩：矩陣的階梯形矩陣中，其非零行行數(shù)稱為矩陣的秩，記為秩或。AAA??rA4.求矩陣秩的方法：用行初等變換把任意矩陣化為階梯形，然后判斷非零行的行數(shù)。A5.逆矩陣的求法：。????1????????AEEA行初等則則五、線性方程組五、線性方程組1.方程組有解時稱方程組相容；方程組無解時稱方程組不相容。2.元線性方程組的求解：

8、n(1)根據(jù)方程組寫出增廣矩陣；(2)用行初等變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣；(3)判斷方程組是否相容（有解），在方程組相容時，把階梯形矩陣化為行最簡形矩陣；(4)根據(jù)行最簡形矩陣直接寫出原方程組的解。3.元線性方程組解的判斷：n(1)時，方程組有解：①=未知量個數(shù)時，方程組有唯一解；②????rr??AA????rr??AA（為未知量個數(shù)）時，方程組有無窮多個解，其中自由未知量個數(shù)等于。????rrn???AAn??nr?A(2)時，方