費(fèi)馬點(diǎn)的證明

1、1、費(fèi)馬點(diǎn)一定不在三角形外（證明略）2、當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120時(shí)對(duì)三角形內(nèi)任一點(diǎn)P延長(zhǎng)BA至C使得AC=AC，做∠CAP=∠CAP，并且使得AP=APPC=PC，（說(shuō)了這么多，其實(shí)就是把三角形APC以A為中心做了個(gè)旋轉(zhuǎn)）則△APC≌△APC∵∠BAC≥120∴∠PAP=180∠BAP∠CAP=180∠BAP∠CAP=180∠BAC≤60∴等腰三角形PAP中，AP≥PP∴PAPBPC≥PPPBPCBC=ABAC∴點(diǎn)A即費(fèi)馬點(diǎn)3、當(dāng)三

2、個(gè)內(nèi)角都小于120時(shí)在△ABC內(nèi)做一點(diǎn)P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120，過(guò)A、B、C分別作PA、PB、PC的垂線，交于D、E、F三點(diǎn)，如圖，再作任一異于P的點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB、PC，過(guò)P作PH⊥EF于H易證明∠D=∠E=∠F=60，即△DEF為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為d，面積為S則有2S=d(PAPBPC)∵PH≤PA所以2S△EPF≤PAd①同理有2S△DPF≤PBd②2S△EPD≤PCd③①②③，得2(S△EPFS△DPFS