數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)題--導(dǎo)數(shù)與微分

1、1導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分題型一利用函數(shù)的定義研究函數(shù)的可導(dǎo)性1設(shè)，2()limsin()()txfxtgxgxtt????????????其中有二階導(dǎo)數(shù)，求。()gx()fx?2設(shè)函數(shù)對(duì)任意均滿足等式()fxx，且有，求。(1)()fxafx??(0)fb??(1)f?3設(shè)可導(dǎo)，，若使在處可導(dǎo)，則必有（()fx??()()1sinFxfxx??()Fx0x?）。()(0)0Af?()(0)0Bf??()(0)(0)0Cff???。()(0

2、)(0)0Dff???題型二利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和法線方程4已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)滿足關(guān)系式()fx0x?，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮(1sin)3(1sin)8()fxfxxox?????()ox0x?x小，且在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程。()fx1x?()yfx???6(6)f5求曲線在點(diǎn)處的法線方程。sin2costtxetyet???????(01)題型三求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6設(shè)，求。221

3、cos()sinyxx?y?7設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求。2sin[()]yfx?f22dydx題型四求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或可化為隱函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題）8設(shè)函數(shù)是由確定的，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求()yyx?()fyyxee?f1f??。22dydx9已知，其中為二階可微函數(shù)，求。()yfxy??()fx22dydx35.設(shè)在內(nèi)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，但當(dāng)時(shí)，()fx[01](01)(0)0f?(01)x?，求證對(duì)任意自然數(shù)，在內(nèi)存在，使。（提()

4、0fx?n(01)?()(1)()(1)nffff?????????示：將所證結(jié)論中改為，兩邊積分后，可作出輔助函數(shù)?x）。??()()(1)nFxfxfx??6.假設(shè)函數(shù)和在存在二階導(dǎo)數(shù)，并且()fx()gx[]ab()0gx???，試證：（1）在開區(qū)間內(nèi)；()()()()0fafbgagb????()ab()0gx?（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。()ab?()()()()ffgg?????????題型四證明有兩個(gè)中值滿足的某種關(guān)

5、系的命題)(?????7.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：存在()fx[]ab()ab()()1fafb??，使得()ab?????()()1.eff????????（提示：將要證結(jié)論改寫為即證。??()().effe???????().xxefxe?????????令，對(duì)其應(yīng)用拉格朗日中值定理。）()()xFxefx?8.設(shè)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，且滿足關(guān)系式，證明在區(qū)間)(xf]10[??210)(2)1(dxxxff內(nèi))10(至少存在一點(diǎn)

6、，使得。?0)()(??????ff題型五證明函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間9.設(shè)函數(shù)在上，且，則)(xf]10[0)(????xf0)0(???f)0()1(ff??的大小順序是（）)1()0()0()1(ffff??)(A)0()1()0()1(ffff?????)(B)0()0()1()1(ffff?????)(C)0()1()0()1(ffff?????)(D)0()1()0()1(ffff?????10.設(shè)函數(shù)對(duì)一切滿足，，若)(x