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1、1圖2圖3圖1另辟蹊徑解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點,其圖形復(fù)雜,知識覆蓋面廣,綜合性較強,對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高對這類題,常規(guī)解法是先畫出平行四邊形,再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決由于先要畫出草圖,若考慮不周,很容易漏解為此,筆者另辟蹊徑,借助探究平行四邊形頂點坐標公式來解決這一類題1兩個結(jié)論,解題的切入點兩個結(jié)論
2、,解題的切入點數(shù)學(xué)課標,現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點坐標公式,也沒有平行四邊形的頂點坐標公式,我們可幫助學(xué)生來探究,這可作為解題的切入點。1.1線段中點坐標公式線段中點坐標公式平面直角坐標系中,點A坐標為(x1y1),點B坐標為(x2y2),則線段AB的中點坐標為().221xx?221yy?證明證明:如圖1,設(shè)AB中點P的坐標為(xPyP).由xPx1=x2xP,得xP=,同理221xx?yP=,所以線段AB的中點坐標為().22
3、1yy?221xx?221yy?1.2平行四邊形頂點坐標公式平行四邊形頂點坐標公式□ABCD的頂點坐標分別為A(xAyA)、B(xByB)、C(xCyC)、D(xDyD),則:xAxC=xBxD;yAyC=yByD.證明:證明:如圖2,連接AC、BD,相交于點E∵點E為AC的中點,∴E點坐標為().2CAxx?2CAyy?又∵點E為BD的中點,∴E點坐標為().2DBxx?2DByy?∴xAxC=xBxD;yAyC=yByD.即平行四邊
4、形對角線兩端點的橫坐標、縱坐標之和分別相等即平行四邊形對角線兩端點的橫坐標、縱坐標之和分別相等2一個基本事實,解題的預(yù)備知識一個基本事實,解題的預(yù)備知識如圖3,已知不在同一直線上的三點A、B、C,在平面內(nèi)另找一個點D,使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形答案有三種:以AB為對角線的□ACBD1,以AC為對角線的□ABCD2,以BC為對角線的□ABD3C3兩類存在性問題解題策略例析與反思兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1三個定
5、點、一個動點,探究平行四邊形的存在性問題三個定點、一個動點,探究平行四邊形的存在性問題例1已知拋物線y=x22xa(a<0)與y軸相交于點A,頂點為M.直線y=xa分別21與x軸、y軸相交于B、C兩點,并且與直線AM相交于點N.(1)填空:試用含a的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標,則M()N();(2)如圖4,將△NAC沿y軸翻折,若點N的對應(yīng)點N′恰好落在拋物線上,AN′與x3圖6∴m=4,∴P1(47);②當(dāng)以BQ為對角線時,得:1m
6、=30,∴m=4,∴P2(4);35③當(dāng)以AB為對角線時,得:13=m0,∴m=2,∴P3(21).綜上,滿足條件的點P為P1(47)、P2(4)、P3(21).35反思:反思:這種題型往往特殊,一個動點在拋物線上,另一個動點在x軸(y軸)或?qū)ΨQ軸或某一定直線上設(shè)出拋物線上的動點坐標,另一個動點若在x軸上,縱坐標為0,則用平行四邊形頂點縱坐標公式;若在y軸上,橫坐標為0,則用平行四邊形頂點橫坐標公式該動點哪個坐標已知就用與該坐標有關(guān)的公
7、式本例中點Q的縱坐標t沒有用上,可以不設(shè)另外,把在定直線上的動點看成一個定點,這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了,分別以三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類,分三種情況討論.例3如圖6,在平面直角坐標系中,已知拋物線經(jīng)過A(40)B(04)C(20)三點(1)求拋物線的解析式;(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點,點M的橫坐標為m,△AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;(3)若點P是拋物線上的動點,點Q是直線y=x上的動點,判
8、斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標解:解:(1)易求拋物線的解析式為y=x2x4;21(2)s=m24m(4m0);s最大=4(過程略);(3)盡管是直接寫出點Q的坐標,這里也寫出過程由題意知O(00)、B(04).由于點Q是直線y=x上的動點,設(shè)Q(ss),把Q看做定點;設(shè)P(mm2m4).21①當(dāng)以O(shè)Q為對角線時,??????????????42140002mmsms∴s=2.52
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