原點(diǎn)矩與中心矩

1、1第1010講原點(diǎn)矩與中心矩原點(diǎn)矩與中心矩協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)及計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念。教學(xué)學(xué)時(shí)：教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過程：教學(xué)過程：第三章第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征3.33.3原點(diǎn)矩與中心矩原點(diǎn)矩與中心矩隨機(jī)變量的數(shù)字特征除了數(shù)學(xué)期望和方差外，為了更好的描述隨機(jī)變量分布

2、的特征，有時(shí)還要用到隨機(jī)變量的各階矩（原點(diǎn)矩與中心矩），它們?cè)跀?shù)理統(tǒng)計(jì)中有重要的應(yīng)用。定義定義1設(shè)是隨機(jī)變量，若存在，則稱它為的階原點(diǎn)矩，X)21)((??kXEkXk記作，即)(Xvk，)()(kkXEXv??21?k顯然，一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望，即。)()(1XEXv?定義定義2設(shè)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望存在，則稱X)21()]([???kXEXk為的階中心矩，記作，即)]([kXEXE?Xk)(Xk?，)]([)(kkXEXEX?

3、???21?k易知，一階中心矩恒等于零，即；二階中心矩就是方差，即0)(1?X?。不難證明，原點(diǎn)矩與中心矩之間有如下關(guān)系：)()(2XDX??2122vv???31213323vvvv????3(3))cov(2)()()(YXYDXDYXD????證22))](())([()]()[()(YEYXEXEYXEYXEYXD?????????)cov(2)()(YXYDXD???該性質(zhì)可推廣到任意場(chǎng)合，即?????????jijiniin

4、iiXXXDXD)cov(2)()(11(4)，是常數(shù)。)cov()cov(YXabbYaX?ba由定義知性質(zhì)（4）是顯然的。(5))cov()cov()cov(2121YXYXYXX???由定義知性質(zhì)（5）是顯然的。(6)若與相互獨(dú)立，則，即與不相關(guān)。反之，若與不XY0)cov(?YXXYXY相關(guān)，與不一定相互獨(dú)立。XY3.3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)1)(?YXR(2)若與相互獨(dú)立，則XY0)(?YXR(3)當(dāng)且僅當(dāng)與之間