高數(shù) 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、6第2章導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)章導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)一、重點：1.導(dǎo)數(shù)的概念；2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)；4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；5.微分的意義；6.微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系及微分的求解。二、難點：1.導(dǎo)數(shù)概念；2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4.微分形式的不變性。三、必須掌握的內(nèi)容：1.導(dǎo)數(shù)的定義；2.單側(cè)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)；3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；4.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系；6.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即導(dǎo)數(shù)基本公式；7.函數(shù)和、差、積、商

2、的導(dǎo)數(shù)；8.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；9.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；10.取對數(shù)求導(dǎo)方法；11.高階導(dǎo)數(shù)；12.微分的定義；13.微分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系；14.微分基本公式及其運算法則；15.微分形式的不變性；16.微分的求解；17.微分在近似計算的應(yīng)用（了解）。第一節(jié)第一節(jié)重點：導(dǎo)數(shù)概念；可導(dǎo)的主要條件；可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；可導(dǎo)的幾何意義；難點：單側(cè)導(dǎo)數(shù)；可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。定義1：函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點處有改變量時，()yfx?0xx0

3、xxA得對應(yīng)的函數(shù)增量。如果極限存在，則稱函數(shù)yA0000()()limlimxxfxxfxyxx?????AAAAAA在點處是可導(dǎo)的（否則稱函數(shù)在點處不可導(dǎo)）；且把該極限稱為函數(shù)()fx0x()fx0x在點處的導(dǎo)數(shù)。記作：，或，()fx0x0()fx?0xxy??0xxdydx?即：，0000()()()limxfxxfxfxx?????AAA若令，上式可表示為：0xxx??A0000()()()limxxfxfxfxxx?????利

4、用定義可求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)。例如：求在處的導(dǎo)數(shù)等。2()3fxx?1x?定義2：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可()fx()ab()fx()ab導(dǎo)。由于導(dǎo)數(shù)的值與點有關(guān)，對于區(qū)間內(nèi)的每一個的值，都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)x()abx值與之對應(yīng)，這樣就確定了區(qū)間內(nèi)的一個函數(shù)，稱之為函數(shù)在區(qū)間()ab()fx?()fx內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作：，或，，。()ab()fx?y?dydxdxxdf)(例如：的導(dǎo)數(shù)是，那么。3()fx

5、x?2()3fxx??22(2)312xfx????定義3：如果極限存在，則稱其為函數(shù)在點處的左導(dǎo)000()()limxfxxfxx????AAA()fx0x6例如：求過曲線上點處的切線方程。2yx?(24)解：由導(dǎo)數(shù)定義3.1可求出.∴24xy???24xKy????切那么所求切線方程是：即.44(2)yx???440yx???本節(jié)小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要理解和掌握導(dǎo)數(shù)概念；可導(dǎo)的充要條件及利用該條件來判別在某點導(dǎo)數(shù)是否存在；導(dǎo)數(shù)的幾何

6、意義及相關(guān)問題的求解；掌握可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系，并明確連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。第二節(jié)第二節(jié)重點：①基本求導(dǎo)公式；②函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)；③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；④隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；難點：①復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；②隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1、基本求導(dǎo)公式：（見課本）注意：①以上公式是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)最基本工具，一定要記?。虎诠街泻瘮?shù)是基本初等函數(shù)。2、四則運算：函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)（見課本）可以通過以下例題來進一步掌握和鞏固以上法則。1、設(shè)，求；2、設(shè)，求

7、；34cossin2yxx????y?(sincos)xyexx??y?3、設(shè)，求；4、設(shè)，求。解略。4343xyx??y?2211xyx???y?3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點可導(dǎo)，()ux??x()yfu?u則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且。[()]yffx?x()()dyfuxdx????重復(fù)利用上述方法，可以把定理推廣到函數(shù)有限次復(fù)合的情形?？梢酝ㄟ^做下面題目來進一步掌握和鞏固以上法則。1.設(shè)，求；2.設(shè)，求6(31)

8、yx??y?8()21xyx??y?；3.設(shè)，求；4.設(shè)，求。解略。23xye??y?22ln()yxxa???y?注意：①以上例題講解可先做一至兩道寫出復(fù)合過程然后再進行求導(dǎo)數(shù)，然后過渡到把復(fù)合過程記在心里，進行求導(dǎo)數(shù)；②要得到強調(diào)寫出復(fù)合過程求導(dǎo)數(shù)與不寫出復(fù)合過程求導(dǎo)數(shù)的書寫格式上的區(qū)別。如：：1、若設(shè)，，則；sin2yx?sinyu?2ux?(sin)(2)yux?????2、若把復(fù)合過程記在心里，則。(sin2)cos2(2)y