時(shí)間序列分析講義 第02章 滯后算子

1、時(shí)間序列分析方法講義第2章滯后算子及其性質(zhì)1第二章滯后算子及其性質(zhì)滯后算子是對時(shí)間序列進(jìn)行動(dòng)態(tài)線性運(yùn)算的主要工具，利用滯后算子可以使得一些非線性運(yùn)算非常簡潔。2.1基本概念時(shí)間序列是以觀測值發(fā)生的時(shí)期作為標(biāo)記的數(shù)據(jù)集合。一般情況下，我們是從某個(gè)特定的時(shí)間開始采集數(shù)據(jù)，直到另一個(gè)固定的時(shí)間為止，我們可以將獲得的數(shù)據(jù)表示為：)(21Tyyy?如果能夠從更早的時(shí)間開始觀測，或者觀測到更晚的時(shí)期，那么上面的數(shù)據(jù)區(qū)間可以進(jìn)一步擴(kuò)充。相對而言，上述

2、數(shù)據(jù)只是一個(gè)數(shù)據(jù)的片段，整個(gè)數(shù)據(jù)序列可以表示為：???????tttTyyyy)(21???例2.1幾種代表性的時(shí)間序列(1)時(shí)間趨勢本身也可以構(gòu)成一個(gè)時(shí)間序列，此時(shí)：；tyt?(2)另一種特殊的時(shí)間序列是常數(shù)時(shí)間序列，即：，是常數(shù)，這種時(shí)間的取值cyt?c不受時(shí)間的影響；(3)在隨機(jī)分析中常用的一種時(shí)間序列是高斯白噪聲過程，表示為：，tty??是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列，每個(gè)隨機(jī)變量都服從分布。??????ttt?)0(2?N時(shí)間序列之間

3、也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，類似于使用函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。它是將輸入時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為輸出時(shí)間序列。例2.2幾種代表性的時(shí)間序列轉(zhuǎn)換(1)假設(shè)是一個(gè)時(shí)間序列，假設(shè)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：，這種算子是將一個(gè)時(shí)間序txttxy??列的每一個(gè)時(shí)期的值乘以常數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)新的時(shí)間序列。(2)假設(shè)和是兩個(gè)時(shí)間序列，算子轉(zhuǎn)換方式為：，此算子是將兩個(gè)時(shí)txtwtttwxy??間序列求和。定義定義2.1如果算子運(yùn)算是將一個(gè)時(shí)間序列的前一期值轉(zhuǎn)化為當(dāng)期值，則稱此算子為滯后算子，記做。即

4、對任意時(shí)間序列，滯后算子滿足：Ltx(1)1)(??ttxxL類似地，可以定義高階滯后算子，例如二階滯后算子記為，對任意時(shí)間序列，二2Ltx階滯后算子滿足：(2)22)]([)(???tttxxLLxL一般地，對于任意正整數(shù)，有：k(3)kttkxxL??)(命題命題2.1滯后算子運(yùn)算滿足線性性質(zhì)：(1))()(ttxLxL???(2))()()(ttttwLxLwxL???證明：(1)利用滯后算子性質(zhì)，可以得到：)()(1tttxLx

5、xL??????(2)End)()()(11ttttttwLxLwxwxL???????由于滯后算子具有上述運(yùn)算性質(zhì)和乘法的交換性質(zhì)，因此可以定義滯后算子多項(xiàng)式，它的作用是通過它對時(shí)間序列的作用獲得一個(gè)新的時(shí)間序列，并且揭示這兩個(gè)時(shí)間序列之時(shí)間序列分析方法講義第2章滯后算子及其性質(zhì)3??????00jjtjttway??上述差分方程的解中含有待定系數(shù)，這為判斷解的性質(zhì)留出一定的余地。2.3二階差分方程二階差分方程我們考察二階差分方程的滯

6、后算子表達(dá)式：ttttwyyy?????2211??將其利用滯后算子表示為：(12)ttwyLL???)1(221??對二階滯后算子多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，即尋求和使得：1?2?])(1[)1)(1()1(2212121221LLLLLL?????????????????顯然和是差分方程對應(yīng)的特征方程的根：1?2?(13)0212???????當(dāng)特征根和落在單位圓內(nèi)的時(shí)候(這也是差分方程的穩(wěn)定性條件)，滯后算子多項(xiàng)1?2?式分解為：，???

7、?????3312211111)1(LLLL????????????3322222121)1(LLLL????這時(shí)二階差分方程解可以表示為：ttwLLy1211)1()1(???????注意到算子分式也可以進(jìn)行分項(xiàng)分式分解(如此分解需要證明，參見Sargent，1987，p.184)：???????????????)1()1()(1)1)(1(122112121LLLL????????將上述表達(dá)式帶入到二階差分方程解中：????????

8、????????????????????????????222221112211212222221121221121)()()(11)(1)1()1()(1ttttttwccwccwccwLLLLwLLy????????????????其中：，2111?????c1222?????c利用上述公式，可以得到外生擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為：，(14)jjtjtccwy2211????????10?j上述利用滯后算子運(yùn)算得到的乘數(shù)與以前所得完全一致