時間序列分析方法 第06章 譜分析

1、時間序列分析方法講義第6章譜分析1第六章譜分析SpectralAnalysis到目前為止，時刻變量的數(shù)值一般都表示成為一系列隨機(jī)擾動的函數(shù)形式，一般ttY的模型形式為：??????0jjtjtY???我們研究的重點在于，這個結(jié)構(gòu)對不同時點和上的變量和的協(xié)方差具有什么t?tY?Y樣的啟示。這種方法被稱為在時間域(timedomain)上分析時間序列的性質(zhì)。????tY在本章中，我們討論如何利用型如和的周期函數(shù)的加權(quán)組合來描述時)cos(t

2、?)sin(t?間序列數(shù)值的方法，這里表示特定的頻率，表示形式為：tY????????????dtdtYt)sin()()cos()(00?????上述分析的目的在于判斷不同頻率的周期在解釋時間序列性質(zhì)時所發(fā)揮的重要????tY程度如何。如此方法被稱為頻域分析(frequencydomainanalysis)或者譜分析(spectralanalysis)。我們將要看到，時域分析和頻域分析之間不是相互排斥的，任何協(xié)方差平穩(wěn)過程既有時域表示

3、，也有頻域表示，由一種表示可以描述的任何數(shù)據(jù)性質(zhì)，都可以利用另一種表示來加以體現(xiàn)。對某些性質(zhì)來說，時域表示可能簡單一些；而對另外一些性質(zhì)，可能頻域表示更為簡單。6.1母體譜我們首先介紹母體譜，然后討論它的性質(zhì)。6.1.1母體譜及性質(zhì)假設(shè)是一個具有均值的協(xié)方差平穩(wěn)過程，第個自協(xié)方差為：????tY?j)])([()cov(?????????jttjttjYYEYY假設(shè)這些自協(xié)方差函數(shù)是絕對可加的，則自協(xié)方差生成函數(shù)為：???????jjj

4、Yzzg?)(這里表示復(fù)變量。將上述函數(shù)除以，并將復(fù)數(shù)表示成為指數(shù)虛數(shù)形式z?2z，，則得到的結(jié)果(表達(dá)式)稱為變量的母體譜：)exp(?iz??1??iY??????????jjijiYYeegs??????21)(21)(注意到譜是的函數(shù)：給定任何特定的值和自協(xié)方差的序列，原則上都??j?????j?可以計算的數(shù)值。)(?Ys利用DeMoivre定理，我們可以將表示成為：jie??)sin()cos(jijeji??????因此，譜

5、函數(shù)可以等價地表示成為：????????jjYjijs)]sin()[cos(21)(?????注意到對于協(xié)方差平穩(wěn)過程而言，有：，因此上述譜函數(shù)化簡為：jj??????????????????????10)]sin()sin()cos()[cos(21)]0sin()0[cos(21)(jjYjijijjis?????????時間序列分析方法講義第6章譜分析3該譜函數(shù)的性質(zhì)為：當(dāng)時，譜函數(shù)在內(nèi)是的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)0??)(?Ys]0[

6、??時，譜函數(shù)在內(nèi)是的單調(diào)遞減函數(shù)。0??)(?Ys]0[??一般地，對過程而言：)(qpARMAqtqtttptptttYYYcY????????????????????????????22112211則母體譜函數(shù)為：)1()1()1()1(2)(2212212212212???????????????????????????ippiiiqqiiippiiiqqiiYeeeeeeeeeeees?????????????????????

7、???????如果移動平均和自回歸算子多項式可以進(jìn)行下述因式分解：)1()1)(1(121221zzzzzzqqq????????????????)1()1)(1(121221zzzzzzppp????????????????則母體譜函數(shù)可以表示為：?????????pjjjqjjjYs12122)]cos(21[)]cos(21[2)(?????????從母體譜函數(shù)中計算自協(xié)方差從母體譜函數(shù)中計算自協(xié)方差如果我們知道了自協(xié)方差序列，原

8、則上我們就可以計算出任意的譜函數(shù)????j??的數(shù)值。反過來也是對的：如果對所有在內(nèi)的，已知譜函數(shù)的數(shù)值，)(?Ys]0[??)(?Ys則對任意給定的整數(shù)k，我們也能夠計算k階自協(xié)方差。這意味著母體譜函數(shù)和k?)(?Ys自協(xié)方差序列包含著相同的信息。其中任何一個都無法為我們提供另外一個無法給????j?出的推斷。下面的命題為從譜函數(shù)計算自協(xié)方差提供了一個有用的公式：命題命題6.1假設(shè)是絕對可加的自協(xié)方差序列，則母體譜函數(shù)與自協(xié)方差之間的

9、????j?關(guān)系為：??????deskiYk????)(上述公式也可以等價地表示為：??????dksYk)cos()(????利用上述譜公式，可以實現(xiàn)譜函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。解釋母體譜函數(shù)假設(shè)，則利用命題6.1可以得到時間序列的方差，即，計算公式為：0?k0??????dsY????)(0根據(jù)定積分的幾何意義，上式說明母體譜函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的面積就是，也就][???0?是過程的方差。更一般的，由于譜函數(shù)是非負(fù)的，對任意，如果我們