微元法在利用定積分解決實(shí)際問題中所起的作用

1、微元法在利用定積分解決實(shí)際問題中所起的作用微元法在利用定積分解決實(shí)際問題中所起的作用張志軍張志軍一、能利用定積分來解決的實(shí)際問題有什么特點(diǎn)？能利用定積分來解決的實(shí)際問題，總可歸結(jié)為求一個(gè)確定在某一區(qū)間上且一般來說在上非均勻分布的量。這個(gè)量有以下兩個(gè)特點(diǎn)：1、對區(qū)間具有可加性設(shè)是與變量的變化區(qū)間有關(guān)的待求量，在內(nèi)任意插入分點(diǎn)，把分成個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地量也被分成個(gè)部分量，那么等于這些部分量的和，即2、能找出部分量的近似表達(dá)式如果對每個(gè)部分量可

2、以找到如下形式的近似值，其中為上的連續(xù)函數(shù)，那么待求量的近似值為我們要求的是的精確值，而用的近似值累加，其誤差也將累加，所以就要求累加的誤差能隨所有而趨于零。因此，希望相應(yīng)于任一長為的小區(qū)間的部分量都滿足表達(dá)式：關(guān)于差，應(yīng)當(dāng)是比高階的無窮小量，這一點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中一般都不驗(yàn)證，因?yàn)槿绻麑γ總€(gè)問題都要一一驗(yàn)證，那么這一方法的應(yīng)用對將受到限制，但注意到這一點(diǎn)是必要的。當(dāng)你認(rèn)為已得到了微元后，便予以積分，若積分結(jié)果不符合實(shí)際時(shí)，再回頭來驗(yàn)證這

3、一點(diǎn)，定能發(fā)現(xiàn)問題。下面看一個(gè)具體的例子。將底半徑為，高為的正圓錐的側(cè)面，看作是由平面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的，為了求其體積，先求體積微元，即當(dāng)很小時(shí)將圓臺視為圓柱，故。若求側(cè)面積時(shí)，也將小圓臺視為圓柱，那么得到的側(cè)面積微元將是，從而。上面的結(jié)果與我們已知的公式相比教，便知求得的體積是對的，而側(cè)面積是錯(cuò)的。為什么用的近似的方法相似，而得到的結(jié)果卻是一個(gè)對而另一個(gè)錯(cuò)了呢？關(guān)鍵在于所找的微元是不是待求量的微分，即是不是比高階的無窮小，這一步是