分數(shù)階微積分-描述記憶特性與中間過程的數(shù)學工具

1、在我們熟悉的經(jīng)典微積分里，導數(shù)都是整數(shù)階的，我們說函數(shù)的一階導數(shù)、二階導數(shù)、十階導數(shù)，而不會說函數(shù)的12階導數(shù)或者階導數(shù)；同樣，對于積分，我們有一重積分、二重積分、或者五重積分等，但沒有23重積分或者重積分等概念。其實，早在1695年9月30日，法國數(shù)學家L’Hospital在給德國數(shù)學家Leibniz的信件中就提出這樣一個問題:如果采用通常使用的導數(shù)記號那么當時，這個表達式的結(jié)果是什么？Leibniz的回復是“anapparentpa

2、radoxfromwhich，oneday，usefulconsequenceswillbedrawn”。這大概就是分數(shù)階導數(shù)概念最早的源頭。經(jīng)過數(shù)學家與其它領域的專家300多年不懈的努力，分數(shù)階微積分終于受到科技工作者越來越多的注意，并逐漸認識到，分數(shù)階微積分可能是描述一些復雜運動、不規(guī)則現(xiàn)象、記憶特征、中間過程等方面恰當?shù)臄?shù)學工具[15]。本文將對分數(shù)階微積分作一簡要介紹，主要回答什么是分數(shù)階導數(shù)？為什么要引入分數(shù)階導數(shù)與分數(shù)階積分

3、它們有什么特點和應用一分數(shù)階導數(shù)的定義與計算分數(shù)階導數(shù)的定義與計算分數(shù)階導數(shù)是一個泛稱表示階數(shù)取非整數(shù)(不僅僅為分數(shù))的導數(shù)它既表示階數(shù)大于零時對應的分數(shù)階導數(shù)在不需要強調(diào)積分特有性質(zhì)時也可表示階數(shù)小于零時對應的分數(shù)階積分。分數(shù)階導數(shù)的定義有多種，最常用有RiemannLiouville導數(shù)和Caputo導數(shù)。在經(jīng)典微積分里，我們可以定義求導運算和求積運算如下它們滿足如下關(guān)系式這表明，求導運算是求積運算的左逆運算，且這兩種運算一般說來不

4、具有交換性。進一步，對任何自然數(shù)有即求導運算是求積運算的左逆運算。現(xiàn)在，對連續(xù)函數(shù)，反復應用分部積分法可得因此，對非正整數(shù)，我們可以定義分數(shù)階積分進一步，對實數(shù)，記為不超過的最大整數(shù)，取，利用導數(shù)與積分的運算公式，非整數(shù)階的RiemannLiouville導數(shù)定義為MERGEFMAT(1)如果利用則得到非整數(shù)階導數(shù)的Caputo定義:(2)由定義可知分數(shù)階導數(shù)值與起始點的取值有關(guān)。另外，兩種導數(shù)在數(shù)值上可能有差異，因為一般地有分數(shù)階微積

5、分:描述記憶特性與中間過程的數(shù)學工具王在華(中國人民解放軍理工大學理學院211101南京)其中的位移、速度、加速度可分別視為位移的0階導數(shù)、1階導數(shù)和2階導數(shù)，因而在一般情況下，狀態(tài)反饋控制可取為分數(shù)階狀態(tài)反饋上述三個例子可以看作是整數(shù)階導數(shù)與整數(shù)階積分的純形式推廣。實際上，的確有一些真實的運動需要用分數(shù)階導數(shù)來描述。例如，為描述與無質(zhì)量的彈簧相連接的剛性薄板豎直浸入到理想流體時的徑向振動Bagley和Tvik提出了如下著名的分數(shù)階微分

6、方程[14]其中分數(shù)階導數(shù)項表示阻尼。從能量耗散的角度看對任何方程中的分數(shù)階導數(shù)項都可以看作是阻尼[6]。三分數(shù)階微積分的特點與應用分數(shù)階微積分的特點與應用幾何上曲線的光滑程度可以用導數(shù)來刻畫?？汕髮?shù)的階數(shù)越高曲線越光滑。宏觀上光滑的曲線在微觀上可能不光滑。描述不光滑曲線的光滑程度就可以采用分數(shù)階導數(shù)。對滿足以及的實數(shù)和奇數(shù)著名的Weiestrass函數(shù)是處處連續(xù)且處處不可導的但它具有分數(shù)階導數(shù)。一般說來具有分形幾何特征的函數(shù)存在分數(shù)

7、階導數(shù)[7]。大氣湍流速度場是不可微的風的不規(guī)則運動不能用NavierStokes方程組來刻畫此時分數(shù)階微積分可以發(fā)揮作用[5]。非線性動力學、混沌理論以及分形理論的發(fā)展大大推動了分數(shù)階微積分的研究今后仍然是分數(shù)階微積分的重要發(fā)展方向之一。粘彈性理論是分數(shù)階微積分目前應用最廣泛的方向之一[1]取得了大量的研究成果各類粘彈性阻尼振動問題以及非穩(wěn)態(tài)波問題方面的應用可參考長篇綜述論文[8]。用分數(shù)階導數(shù)描述的阻尼不僅改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也改變系

8、統(tǒng)的振動頻率[6]。另外，基于經(jīng)典微積分描述的力學“變分原理”不能直接應用于具有摩擦或其它耗散過程的非保守系統(tǒng)，但如果將分數(shù)階導數(shù)引入到Lagrange函數(shù)，則可對非保守系統(tǒng)直接建立變分原理[9]。分數(shù)階微積分使得Lagrange力學、Hamilton力學、HamiltonJacobi理論、量子波理論等在同一框架下完整地得到描述[9]。分數(shù)階微積分在非Newton流體力學、量子力學、生物力學、反常擴散與隨機游走等理論中有許多重要應用[5

9、][10]。分數(shù)階微積分的另一個重要應用方向是控制理論[14].人們將經(jīng)典的PID控制推廣為分數(shù)階控制[3][4]大大擴充了控制器的設計范圍并且發(fā)現(xiàn)分數(shù)階狀態(tài)反饋控制比經(jīng)典狀態(tài)反饋控制更精確而且具有諸多良好的控制性能如對增益變化有很好的魯棒性、能抗高頻噪聲、易于消去靜態(tài)誤差等等[4]。分數(shù)階控制的應用包括:車輛主動懸架、液壓作動器、柔性機械臂、機器人等諸多運動控制問題[4][11].另外分數(shù)階Fourier變換是一種統(tǒng)一的時頻變換在信號

10、分析與處理中具有獨特性與優(yōu)越性在信號檢測與重構(gòu)、濾波、圖像處理等方面具有較廣泛的應用[12]。相對于經(jīng)典微積分分數(shù)階微積分更加復雜一是分數(shù)階導數(shù)的數(shù)學運算復雜二是含分數(shù)階導數(shù)的系統(tǒng)具有復雜的動力學。這種復雜性一方面限制了分數(shù)階微積分的廣泛應用另一方面又為復雜系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的研究帶來了新的機遇。隨著理論與應用研究的進一步深化分數(shù)階微積分必將在具有記憶特征或中間過程等問題的研究中發(fā)揮更大的作用.也許分數(shù)階微積分是二十一世紀的微積分[2]。致謝:

11、本文得到國家杰出青年科學基金項目10825207的資助。參考文獻參考文獻1.PodlubnyI.FractionalDifferentialEquationsSanDiego:AcademicPress1999.2.DasS.FunctionalFractionalCalculusfSystemIdentificationControlsBerlin:SpringerVerlag20083.CapotoR.DongolaG.FtunaL

12、PetrasI.FractionalderSystems:ModelingControlApplicationsNewJersey:WldScientific2010.4.MonjeC.A.ChenY.Q.VinagreB.M.XueD.Y.FeliuV.FractionalderSystemsControls:FundamentalsApplicationsLondon:SpringerVerlag2010.5.徐明瑜譚文長.中間過程