22610.廣義分?jǐn)?shù)階微積分中若干問題的研究

1、中圖分類號(hào)UDC0175517博士學(xué)位論文學(xué)校代碼密級(jí)廣義分?jǐn)?shù)階微積分中若干問題的研究10533公開TheoryandApplicationsoftheGeneralizedFractionalCalculus作者姓名：學(xué)科專業(yè)：研究方向：徐宇鋒應(yīng)用數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)院(系、所)：墼堂魚絲苧堂墮指導(dǎo)教師：何智敏教授中南大學(xué)2014年5月廣義分?jǐn)?shù)階微積分中若干問題的研究摘要：研究了幾類分?jǐn)?shù)階常微分方程邊值問題的存在性介紹了廣義分?jǐn)?shù)階微積分

2、的基本理論，研究了廣義分?jǐn)?shù)階諧振子的動(dòng)力學(xué)，研究了廣義分?jǐn)?shù)階對(duì)流一擴(kuò)散方程的數(shù)值解和擴(kuò)散特征，以及廣義分?jǐn)?shù)階變分問題全文由7部分組成第1章介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的起源和歷史，以及近代分?jǐn)?shù)階微積分理論的創(chuàng)新與發(fā)展主要從分?jǐn)?shù)階常微分方程的邊值問題，分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值計(jì)算，廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)及其分?jǐn)?shù)階變分問題等四個(gè)方面對(duì)現(xiàn)代分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展進(jìn)行了綜述最后介紹了全文的主要工作第2章介紹了Banach空問和拓?fù)涠壤碚摶A(chǔ)，Riemann—Liou

3、ville分?jǐn)?shù)階積分，RiemannLiouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和基本性質(zhì)，第3章研究了分?jǐn)?shù)階常微分方程邊值問題利用拓?fù)涠壤碚撝械慕?jīng)典不動(dòng)點(diǎn)定理研究了Banach空間中帶有非正則型邊界條件、積分型邊界條件和反周期邊界條件的分?jǐn)?shù)階邊值問題，獲得了上述邊值問題普通解和正解存在的充分條件第4章介紹了第一類廣義分?jǐn)?shù)階算子：K算子，A算子和B算子研究了這類廣義分?jǐn)?shù)階算子的基本性質(zhì)以及在擴(kuò)散波動(dòng)方程和諧振子方程中的應(yīng)用

4、研究了帶有指數(shù)型核函數(shù)的B一算子定義的廣義分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程的數(shù)值解通過選取指數(shù)型核函數(shù)，分?jǐn)?shù)次冪核函數(shù)和弱奇異型核函數(shù)等不同類型的核函數(shù)，定義了不同的廣義分?jǐn)?shù)階諧振子方程和廣義vanderPol振子利用有限差分法求解了上述廣義諧振子方程，發(fā)現(xiàn)廣義諧振子具有十分復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，且不同的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)依賴于核函數(shù)的選擇經(jīng)典vanderPol振子的混沌行為依賴于合適的外力驅(qū)動(dòng)，且極限環(huán)在沒有外力作用時(shí)不會(huì)與自身交叉但是在廣義vallderPo

5、l振子中，即使沒有外力作用，當(dāng)核函數(shù)為弱奇異型時(shí)，仍然可以觀察到混沌現(xiàn)象以及極限環(huán)自身的交叉第5章介紹了第二類廣義分?jǐn)?shù)階微積分理論，研究了這類分?jǐn)?shù)階算子的基本性質(zhì)和在偏微分方程中的應(yīng)用廣義分?jǐn)?shù)階積分和微分算子依賴于尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)，許多已有的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)可視為廣義分?jǐn)?shù)階算子的特殊情形首先研究了帶有廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階Burgers方程的數(shù)值格式和數(shù)值解發(fā)現(xiàn)尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)對(duì)Burgers方程的解的擴(kuò)散特征有顯著的影響，考慮

6、了四種不同的尺度函數(shù)和兩類不同的權(quán)重函數(shù)，比較了不同的尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)對(duì)擴(kuò)散速度的具體作用其次，研究了帶有廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流一擴(kuò)散方程的數(shù)值解通過選取一些典型的尺度函數(shù)和權(quán)重函數(shù)，研究了對(duì)流一擴(kuò)散方程解的擴(kuò)散特征對(duì)方程參數(shù)，尺度函數(shù)，權(quán)重函數(shù)以及源項(xiàng)函數(shù)的依賴性最后，推導(dǎo)了常系數(shù)廣義時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流一擴(kuò)散方程的解析解廣義分?jǐn)?shù)階算子和帶權(quán)重的Caputo型分?jǐn)?shù)階算子之間可以建立等價(jià)關(guān)系利用分離變量法，可以方便地求得時(shí)間分?jǐn)?shù)階線