高考球例題復(fù)習(xí)精講

1、處理球的處理球的“內(nèi)切內(nèi)切”“外接外接”問題問題與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。作為這種特殊的位置關(guān)系在高考中也是考查的重點(diǎn)，但同學(xué)們又因缺乏較強(qiáng)的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置及球心的位置，畫好截面圖是關(guān)鍵，可使這類問題迎刃而解。一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題例1.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點(diǎn)、

2、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的Oa對稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為OrR正四面體的表面積223434aaS???體正四面體的體積22221234331BEABaAEaVBCDA??????322212233123aaaa???????????，BCDAVrS???體31?aaaSVrBCDA12631223323??????體在中，，即，得，得BEORt?222EOBE

3、BO??22233raR??????????aR46?rR3?【點(diǎn)評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為(為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中4hh43h建立棱長與半徑之間的關(guān)系。OBERt?例2設(shè)棱錐的底面是正方形，且，，如果的面積為1，ABCDM?MDMA?ABMA?AMD?試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.解：解：平面，????ABMAABA

4、DAB?MAD由此，面面.記是的中點(diǎn)，?MADACEAD從而.平面，ADME???MEACEFME?設(shè)球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖OMADACMBC2，得截面圖及內(nèi)切圓MEF?O不妨設(shè)平面，于是是的內(nèi)心.?OMEFOMEF?設(shè)球的半徑為，則，設(shè).OrMFEMEFSrMEF????2aEFAD??1??AMDS?圖2圖1正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。

5、例4.已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，111CBAABC?1O2O求球與球的體積之比與表面積之比。1O2O分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，1O2O1AA設(shè)正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱aaR632?的高為，由中，得aRh3322??ODARt11?22222221125633333aaaRaR????????

6、?????????????????????，aR1251??，1:5::222121???RRSS1:55:21?VV練習(xí)：正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，求正四棱柱的側(cè)面積的最大1111DCBAABCD?R值。（答案為：）224R【點(diǎn)評】“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要是指特殊的點(diǎn)、線、面之間關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中解決問題，作出合適的截面圖來確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，是解決這類問題的

7、最佳途徑。典型例題典型例題1——球的截面球的截面例1球面上有三點(diǎn)、、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，ABC18?AB、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積24?BC30?AC分析：分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，ABC?由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑222dRr??R解：解：∵，，，18?AB24?B