數(shù)學(xué)競(jìng)賽之立體幾何專題精講例題練習(xí)

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的立體幾何問(wèn)題立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，當(dāng)然也是每年的全國(guó)聯(lián)賽的必然考查內(nèi)容解法靈活而備受人們的青睞，競(jìng)賽數(shù)學(xué)當(dāng)中的立幾題往往會(huì)以中等難度試題的形式出現(xiàn)在一試中，考查的內(nèi)容常會(huì)涉及角、距離、體積等計(jì)算解決這些問(wèn)題常會(huì)用到轉(zhuǎn)化、分割與補(bǔ)形等重要的數(shù)學(xué)思想方法一、求角度一、求角度這類題常以多面體或旋轉(zhuǎn)體為依托考查立體幾何中的異面直線所成角、直線與平面所成角或二面角的大小解決這類題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件準(zhǔn)確地找出或作出要

2、求的角立體幾何中的角包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角三種其中兩條異面直線所成的角通過(guò)作兩條異面直線的平行線找到表示異面直線所成角的相交直線所成的角，再構(gòu)造一個(gè)包含該角的三角形，解三角形即可以完成；直線和平面所成的角則要首先找到直線在平面內(nèi)的射影，一般來(lái)講也可以通過(guò)解直角三角形的辦法得到，其角度范圍是；二面角在求解的過(guò)程當(dāng)中一般要先找到??090??二面角的平面角，三種方法：①作棱的垂面和兩個(gè)半平面相交；②過(guò)棱上任意一點(diǎn)分

3、別于兩個(gè)半平面內(nèi)引棱的垂線；③根據(jù)三垂線定理或逆定理另外還可以根據(jù)面積射影定理得到式中表cosSS????S?示射影多邊形的面積，表示原多邊形的面積，即為所求二面角S?例１例１直線和平面斜交于一點(diǎn)，是在內(nèi)的射影，是平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)的任一直線，OA?OOBOA?OC?O設(shè)，求證：.AOCAOBBOC?????????coscoscos?????分析：分析：如圖，設(shè)射線任意一點(diǎn)，過(guò)作OAAA于點(diǎn)，又作于點(diǎn)，連AB??BBCOC?C接有：AC所以，

4、coscoscosOCOBOCOAOAOB??????coscoscos?????評(píng)注：評(píng)注：①上述結(jié)論經(jīng)常會(huì)結(jié)合以下課本例題一起使用過(guò)平面內(nèi)一個(gè)角的頂點(diǎn)作平面的一條斜線，如果斜線和角的兩邊所成的角相等，那么這條斜線在平面內(nèi)的射影一定會(huì)落在這個(gè)角的角平分線上利用全等三角形即可證明結(jié)論成立②從上述等式的三項(xiàng)可以看出值最小，于是可得結(jié)論：平面的一條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的cos?所有直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角最小例、（1997年全

5、國(guó)聯(lián)賽一試）如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB上，?OCBAFEDCBAG111sin362ABCDABDEDABEBDEVVVShABBEABEh?????????????例十六、（2002年全國(guó)聯(lián)賽一試）由曲線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所224444xyxyxx??????y得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體????222222162424xyxyxy??????????xyy積為V2，則：（A）V1=

6、V2；（B）V1=V2；（C）V1=V2；（D）V1=V2；12232分析：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅在對(duì)于兩個(gè)幾何體體積的比較方面作出了卓越的貢獻(xiàn)，祖暅原理告訴我們：對(duì)于兩個(gè)底面積相同，高相等的幾何體，任做一個(gè)平行于底面的截面，若每一個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等運(yùn)用祖原理的思想我們可以將不規(guī)則的幾何體的體積計(jì)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的體積計(jì)算如計(jì)算球的體積時(shí)我們可以將半球轉(zhuǎn)化為圓柱與圓錐的組合體顯然，本題中的兩個(gè)幾何體符合祖暅原理的條

7、件，比較其截面面積如下：取，則：??44yaa??????21162164Saa??????????當(dāng)時(shí)：0a???????22221642164Saaa?????????????當(dāng)時(shí)：0a???????22221642164Saaa?????????????顯然，，于是有：12SS?12VV?例十七、（2000年全國(guó)聯(lián)賽一試）一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為，則這個(gè)a球的體積是分析：由正四面體的圖象的對(duì)稱性可知，內(nèi)切