線代與解幾復(fù)習(xí)--1

1、11、行列式的性質(zhì)與計算法一：拉普拉斯定理展開⑴尋找行列式中最簡單的一行（列）⑵利用初等變換將該行（列）化為只有一個非零元素⑶利用拉普拉斯定理，按這一行（列）展開；⑷重復(fù)以上步驟，直到降為2階，3階行列式。法二：利用三角形行列式對行列式施以初等變換，使其化為三角形行列式，利用三角形行列式的特殊結(jié)論計算。法三：利用行列式的定義注意：階行列式的計算不存在對角線法則。(4)nn?2、(克萊姆法則克萊姆法則)若線性方程組)1(221122222

2、12111212111???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????????????的系數(shù)行列式則線性方程組(1)有且僅有唯一解其解為0?D，其中是把中第列元(12)jjDxjnD???nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211?)21(njDj??Dj素對應(yīng)地換成常數(shù)項而其余各列保持不變所得到的行列式.njjjaaa21?21nbbb?3、矩陣

3、的加減運算（條件：同型矩陣），數(shù)乘運算（無條件：任何矩陣都可以進行數(shù)乘運算），矩陣的乘法（條件：左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)），矩陣的乘法一般不滿足交換律，即，如果兩矩陣相乘有則稱A與B可換.矩BAAB?BAAB?陣乘法一般也不滿足消去律即不能從必然推出BCAC?.BA?矩陣乘法滿足的運算律：①結(jié)合律，②左、右分配律，()()ABCABC?()ABCACBC???()ABCABAC???③)()(kBABkA?矩陣的轉(zhuǎn)置(或).性質(zhì)

4、：ATAA?TTTTTBABAAA????)).(2()).(1(TTTTTABABkAkA??)).(4())(3(對稱矩陣（）.性質(zhì)：⑴，⑵若為對稱矩陣，則也為對稱矩AAT?AAT?BABA?陣，但不一定為對稱矩陣。⑶對任意矩陣，均為對稱陣。ABATTAAAA方陣的冪，且規(guī)定.kkAAAAk??????????個為自然數(shù)0AI?3初等變換方法（1）作一個的矩陣；（2）對矩陣作單一的行變換nn2???IA??IA（3）??IA???B

5、IBA??1解矩陣方程，例求解矩陣方程，則。也可對作單一的行變換BAX?BAX1????AB，則。????1ABIAB??BAX1??4、解線性方程組設(shè)非齊次線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣bAX?的秩即且當時有唯一解當時有無窮多解.)(~bAA?).~()(ArAr?nAr?)~(nAr?)~(設(shè)齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩0?AX.)(nAr?對非齊次線性方程組，將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，便可

6、直接判斷其是否有解，若有A~解，化為行最簡形矩陣，便可直接寫出其全部解.其中要注意，當時，nrArAr???)~()(的行階梯形矩陣中含有個非零行，把這行的第一個非零元所對應(yīng)的未知量作為非自A~rr由量，其余個作為自由未知量.rn?對齊次線性方程組將其系數(shù)矩陣化為行最簡形矩陣，便可直接寫出其全部解.5、（投影定理）向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦ABu?即其中為向量與軸的夾角。PrcosjABAB??????????

7、??AB?????6、非零向量的方向角、模與坐標7、兩向量的數(shù)量積(內(nèi)積)，為向量與的夾角，||||cosabab????ab、，，111()axyz?222()bxyz?121212abxxyyzz????222222212121212121coszyxzyxzzyyxx????????⊥的充分必要條件是，向量內(nèi)積的運算規(guī)律，1)交換律:，2)ab0ab??abba???分配律：，3)結(jié)合律：()abcacbc??????()()()