等腰三角形證明以及輔助線做法

1、巧用巧用“兩線合一兩線合一”構建且證明等腰三角形問題構建且證明等腰三角形問題學習了等腰三角形的三線合一后，筆者認為，可以根據(jù)學生的實際情況，補充“三線合一”的逆命題的教學，因為這種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：①一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形（線段垂直平分線的性質(zhì)）②一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形③一邊上的中線與這邊

2、所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對角的平分線”三線中“兩線合一”就能證明它是等腰三角形為了便于記憶，筆者簡言之：兩線合一，必等腰。本文重點利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構建等腰三角形且證明之來解決問題。一、我們先來證明一、我們先來證明“三線合一三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：證明①：已知:如圖1，△ABC中，AD是BC邊上的中線，又是

3、BC邊上的高。求證：△ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。證明②：已知:如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD是BC邊上的高。求證：△ABC是等腰三角形。分析：利用ASA的方法來證明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。證明③：已知:如圖2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線

4、，AD是BC邊上的中線。求證：△ABC是等腰三角形。方法一：分析：要證△ABC是等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線段所在的三角形全等不行，那就換種思路，經(jīng)驗告訴我們，在有中點的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“倍長中線法”（即通過延長三角形的中線使之加倍，以便構造出全等三角形來解決問題的方法），即延長AD到E點，使DE=AD，由此問題就解決了。證明：如圖2，延長AD到E點，使DE=AD，連接BE當然，學生在作出角的平分

5、線上一點到角的兩邊的距離時，很容易形成思維定勢，證明兩組直角三角形分別全等，從而證明∠B=∠C，所以AB=AC，此法明顯較麻煩些，但是思路要給予肯定。需要提醒讀者的是：以上我們證明了“三線合一”的逆定理的正確性，但是這種逆命題不能作為定理來用，掌握了它和它的證明過程，其目的是為我們解題增加一種重要思路和方法。二、二、利用利用“三線合一三線合一”性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構建且證明等腰三角形來解決問題性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構建且證明等腰三

6、角形來解決問題1、逆命題①的應用（即線段垂直平分線的性質(zhì)的應用）例1人教版八（上）第十二章章節(jié)復習題中的第5題：如圖4，D、E分別是AB、AC的中點，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求證：AC=AB。經(jīng)筆者驗證，學生一拿到題目就找全等三角形或構建全等三角形，所以連接AO（圖略），證明△AOC≌△AOB或者三組直角三角形分別全等，其中還要用到線段的垂直平分線的性質(zhì)，證明OA=OB=OC，方法相當?shù)芈闊?。分析：題目沒有直接給出“CD、BE分

7、別是AB、AC的垂直平分線”這樣的語句，所以學生最初拿到這個題目，很難把分立的垂直和平分兩個條件聯(lián)系在一起。如果學生有“兩線合一，必等腰”的思維，很容易想到CD、BE分別可以是以AB、AC為底邊的等腰三角形底邊上的高和中線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構造等腰三角形。簡單證明：連結BC，∵CD⊥AB，AD=BD∴AC=BC（注：利用線段垂直平分線的性質(zhì)）同理可得：AB=BC∴AC=AB由于逆命題①的應用與線段垂直平分線的性質(zhì)相一致，