淺談三角形中位線定理的幾種證法

1、淺談三角形中位線定理的幾種證法淺談三角形中位線定理的幾種證法康園中學校張瑜摘要摘要：華師大數學九年級上冊第23章中，學生學習了三角形中位線定理，對于三角形中位線定理的證明方法我與學生進行了深入地研究，總結了十種類型的方法，下面將三角形中位線定理的這些證法與大家共同分享。共有十種不同的類型：動手操作法、相似法、倍長法、平行法、翻折法、作高法、構造法、旋轉法、同一法、反證法。關鍵詞關鍵詞：三角形中位線定理、二十八種不同的證法。三角形中位線定

2、理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。如圖，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。求證：DE‖BC，DE=BC。21一、一、類型一：型一：動手操作法手操作法方法方法1：度量法：度量法華師大初中數學教材的編寫是呈螺旋式上升的，七年級和八年級上冊重點培養(yǎng)學生的合情推理能力（即學生的動手操作和簡單的說理驗證），八年級下冊和九年級重點培養(yǎng)學生的演繹推理能力（即嚴格地利用定理進

3、行證明）。因此運用合情推理，可以采用度量的方法來證明三角形中位線定理。首先用直尺分別量出DE、BC的長，看是否滿足DE=BC，再用量角器分別量出∠ADE和∠B的度數，看21是否相等，從而判斷是否平行。二、二、類型一：相似法型一：相似法方法方法2：相似法一：相似法一根據AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，從而得到△ADE∽△ABC。于是2121∠ADE=∠ABC，DE:BC=AD:AB=1:2。輕松得到DE‖BC，DE=BC。21

4、方法方法3：相似法二：相似法二過點D作DF⊥AC于F，過點B作BG⊥AC于G，則DFBG，于是△ADF∽△ABG，得到DF=BG，AF=FG。因為AE=EC，所以FE=GC。根據DF:BG=FE:GC，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE∽△2121BGC，從而命題得證。3、類型三：倍型三：倍長法方法方法4：中位線倍長法一：：中位線倍長法一：這是常用的方法，也是北師大教材中使用的方法。延長DE至F，使EF=DE，連接FC，則△ADE

5、≌△ABCDEABCDEFGFADEBCFADEBCFADEBCGFADEBC方法2方法3方法4方法5方法6構造出來，于是就要作高。過A作AF⊥BC于F，連接DF，EF。得到FD=BD=DA；FE=AE=EC。利用“SSS”證明△ADE≌△FDE，得到∠ADE=∠FDE，再運用三線合一得到AF⊥DE，再分別作DM⊥BC于F，EN⊥BC于N，于是四邊形DMFG、ENFG、DMNE均為矩形，從而命題得證。方法方法12：作中位線高法：作中位線

6、高法分別過點A、B、C向中位線作垂線，垂足分別為F、M、N。易知△ADF≌△BDM，△AEF≌△CEN，則MD=DF，NE=EF，MN=2DE，MBNC，MB=NC，得到四邊形MBCN為矩形，從而命題得證。七、七、類型七：構造法型七：構造法方法方法13：構造矩形法：構造矩形法過點D作DF⊥BC于F，過點E作EG⊥BC于G，過A作MNBC，分別與FD、GE的延長線交于M、N。則四邊形MFGN為矩形，△MDA≌△FDB，△NEA≌△GEC，

7、于是MN=FG，MD=DF=NE=EG，得到四邊形DFGE為矩形，從而命題得證。方法方法14：構造平行四邊形法一：構造平行四邊形法一過點D、E作DFEG，分別交BC于F、G，過點A作MNEG，分別與FD、GE的延長線交于M、N。則四邊形MFGN為平行四邊形，與構造矩形法相同原理，從而命題得證。方法方法15：構造平行四邊形法二：構造平行四邊形法二過點A作AFBC，且AF=BC，連接CF，延長DE，交CF于G，則四邊形ABCF為平行四邊形，

8、ABFC。得到△ADE≌△CGE，于是CG=AD=DB，則四邊形BCGD為平行四邊形，從而命題得證。八、八、類型八：旋型八：旋轉法方法方法1616：旋轉法一：旋轉法一因AE=EC，故可將△ADE繞點E順時針旋轉1800至△CFE。則△ADE≌△FEC，ADFC，AD=FC，則BDFC且BD=FC，則四邊形DBCF是平行四邊形。由DE=DF，所以DE‖BC，DE=BC。2121方法方法1717：旋轉法二：旋轉法二因AE=EC，故可將△AB