淺談三角形中位線定理的幾種證法

1、淺談三角形中位線定理的幾種證法淺談三角形中位線定理的幾種證法康園中學(xué)校張瑜摘要摘要：華師大數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第23章中，學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形中位線定理，對(duì)于三角形中位線定理的證明方法我與學(xué)生進(jìn)行了深入地研究，總結(jié)了十種類型的方法，下面將三角形中位線定理的這些證法與大家共同分享。共有十種不同的類型：動(dòng)手操作法、相似法、倍長法、平行法、翻折法、作高法、構(gòu)造法、旋轉(zhuǎn)法、同一法、反證法。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：三角形中位線定理、二十八種不同的證法。三角形中位線定

2、理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。如圖，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點(diǎn)。求證：DE‖BC，DE=BC。21一、一、類型一：型一：動(dòng)手操作法手操作法方法方法1：度量法：度量法華師大初中數(shù)學(xué)教材的編寫是呈螺旋式上升的，七年級(jí)和八年級(jí)上冊(cè)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力（即學(xué)生的動(dòng)手操作和簡單的說理驗(yàn)證），八年級(jí)下冊(cè)和九年級(jí)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力（即嚴(yán)格地利用定理進(jìn)

3、行證明）。因此運(yùn)用合情推理，可以采用度量的方法來證明三角形中位線定理。首先用直尺分別量出DE、BC的長，看是否滿足DE=BC，再用量角器分別量出∠ADE和∠B的度數(shù)，看21是否相等，從而判斷是否平行。二、二、類型一：相似法型一：相似法方法方法2：相似法一：相似法一根據(jù)AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，從而得到△ADE∽△ABC。于是2121∠ADE=∠ABC，DE:BC=AD:AB=1:2。輕松得到DE‖BC，DE=BC。21

4、方法方法3：相似法二：相似法二過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，過點(diǎn)B作BG⊥AC于G，則DFBG，于是△ADF∽△ABG，得到DF=BG，AF=FG。因?yàn)锳E=EC，所以FE=GC。根據(jù)DF:BG=FE:GC，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE∽△2121BGC，從而命題得證。3、類型三：倍型三：倍長法方法方法4：中位線倍長法一：：中位線倍長法一：這是常用的方法，也是北師大教材中使用的方法。延長DE至F，使EF=DE，連接FC，則△ADE

5、≌△ABCDEABCDEFGFADEBCFADEBCFADEBCGFADEBC方法2方法3方法4方法5方法6構(gòu)造出來，于是就要作高。過A作AF⊥BC于F，連接DF，EF。得到FD=BD=DA；FE=AE=EC。利用“SSS”證明△ADE≌△FDE，得到∠ADE=∠FDE，再運(yùn)用三線合一得到AF⊥DE，再分別作DM⊥BC于F，EN⊥BC于N，于是四邊形DMFG、ENFG、DMNE均為矩形，從而命題得證。方法方法12：作中位線高法：作中位線

6、高法分別過點(diǎn)A、B、C向中位線作垂線，垂足分別為F、M、N。易知△ADF≌△BDM，△AEF≌△CEN，則MD=DF，NE=EF，MN=2DE，MBNC，MB=NC，得到四邊形MBCN為矩形，從而命題得證。七、七、類型七：構(gòu)造法型七：構(gòu)造法方法方法13：構(gòu)造矩形法：構(gòu)造矩形法過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，過A作MNBC，分別與FD、GE的延長線交于M、N。則四邊形MFGN為矩形，△MDA≌△FDB，△NEA≌△GEC，

7、于是MN=FG，MD=DF=NE=EG，得到四邊形DFGE為矩形，從而命題得證。方法方法14：構(gòu)造平行四邊形法一：構(gòu)造平行四邊形法一過點(diǎn)D、E作DFEG，分別交BC于F、G，過點(diǎn)A作MNEG，分別與FD、GE的延長線交于M、N。則四邊形MFGN為平行四邊形，與構(gòu)造矩形法相同原理，從而命題得證。方法方法15：構(gòu)造平行四邊形法二：構(gòu)造平行四邊形法二過點(diǎn)A作AFBC，且AF=BC，連接CF，延長DE，交CF于G，則四邊形ABCF為平行四邊形，

8、ABFC。得到△ADE≌△CGE，于是CG=AD=DB，則四邊形BCGD為平行四邊形，從而命題得證。八、八、類型八：旋型八：旋轉(zhuǎn)法方法方法1616：旋轉(zhuǎn)法一：旋轉(zhuǎn)法一因AE=EC，故可將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1800至△CFE。則△ADE≌△FEC，ADFC，AD=FC，則BDFC且BD=FC，則四邊形DBCF是平行四邊形。由DE=DF，所以DE‖BC，DE=BC。2121方法方法1717：旋轉(zhuǎn)法二：旋轉(zhuǎn)法二因AE=EC，故可將△AB