相似三角形---射影定理的運(yùn)用

1、相似三角形相似三角形射影定理的推廣及應(yīng)用射影定理的推廣及應(yīng)用射影定理是平面幾何中一個(gè)很重要的性質(zhì)定理，盡管義務(wù)教材中沒有列入，但在幾何證明及計(jì)算中應(yīng)用很廣泛，若能很好地掌握并靈活地運(yùn)用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若將定理中的直角三角形條件非直角化，亦可得到類似的結(jié)論（這里暫且稱之為射影定理的推廣），而此結(jié)論又可作為證明其它命題的預(yù)備定理及聯(lián)想思路，熟練地掌握并巧妙地運(yùn)用，定會(huì)在幾何證明及計(jì)算“山窮水盡疑無(wú)路”時(shí)，“柳暗花明又一村

2、”地迎刃而解。下面結(jié)合例子從它的變式推廣上談?wù)勂鋺?yīng)用。一、射影定理一、射影定理射影定理射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ為高，則有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（證明略）二、二、變式推廣式推廣１逆用１逆用如圖（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ為高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?

3、ＡＢ，則有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ為直角三角形。（證明略）２一般化２一般化，若△ＡＢＣ不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)Ｄ滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立。（后文簡(jiǎn)稱：射影定理變式（2））如圖（２）：△ＡＢＣ中，D為ＡＢ上一點(diǎn)，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ上一點(diǎn)，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ

4、，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。（證明略）三、三、應(yīng)用例１例１如圖（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于點(diǎn)Ｈ，求證：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２分析：易證∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900∠C＝∠HBD，聯(lián)想到射影定理變式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有結(jié)論成立。（證明略）例２例２如圖（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ為?。粒弥悬c(diǎn)，過點(diǎn)Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分為４和１２兩部分，求ＤＣ。4、如圖12，在矩形ABCD中，，則（）13DEAC

5、ADECDE????EDB??A、B、C、D、22.5?30?45?60?【填空填空題】5、中，，于點(diǎn)D，AD=6，BD=12，則CD=，AC=ABC:90A???ADBC?，=。22:ABAC6、如圖21，在Rt中，，，AC=6，AD=3.6，則BC=ABC:90ACB???CDAB?【解答解答題】7、已知CD是的高，，如圖31，求證：ABC:DECADFCB??CEFCBA::∽8、已知，，，是正三角形，求證：90CAB???ADC