平面幾何輔助線添加技法總結(jié)與例題詳解

1、第一講注意添加平行線證在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時(shí)若能依據(jù)證題的需要添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€則能使證明順暢、簡潔.添加平行線證題一般有如下四種情況.1為了改變角的位置大家知道兩條平行直線被第三條直線所截同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì)?？赏ㄟ^添加平行線將某些角的位置改變以滿足求解的需要.例1設(shè)P、Q為線段BC上兩點(diǎn)且BP＝CQA為BC外一動(dòng)點(diǎn)(如圖1

2、).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP＝∠CAQ時(shí)△ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP＝∠CAQ時(shí)△ABC為等腰三角形.證明：如圖1分別過點(diǎn)P、B作AC、AQ的平行線得交點(diǎn)D.連結(jié)DA.在△DBP＝∠AQC中顯然∠DBP＝∠AQC∠DPB＝∠C.由BP＝CQ可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC∠BDP＝∠QAC.于是DA∥BP∠BAP＝∠BDP.則A、D、B、P四點(diǎn)共圓且四邊形ADBP為等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝

3、AC.這里通過作平行線將∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四點(diǎn)共圓使證明很順暢.例2如圖2四邊形ABCD為平行四邊形ADBPQC圖1兩邊距離相等.有KQ＝PN.顯然＝＝可知PG∥EC.PDEPFDEFGDCG由CE平分∠BCA知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.這里通過添加平行線將PQ“掐開”成兩段證得PM＝PK就有PM＋PN＝PQ.證法非常簡捷.3為了線段比的轉(zhuǎn)化由于“平行于三角形一邊

4、的直線截其它兩邊所得對應(yīng)線段成比例”在一些問題中可以通過添加平行線實(shí)現(xiàn)某些線段比的良性轉(zhuǎn)化.這在平面幾何證題中是會(huì)經(jīng)常遇到的.例4設(shè)M1、M2是△ABC的BC邊上的點(diǎn)且BM1＝CM2.任作一直線分別交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.試證：＋＝＋.APABAQAC11ANAM22ANAM證明：如圖4若PQ∥BC易證結(jié)論成立.若PQ與BC不平行設(shè)PQ交直線BC于D.過點(diǎn)A作PQ的平行線交直線BC于E.由BM1＝CM2可知BE