小學(xué)奧數(shù)最大與最小教師版

1、模塊一、數(shù)論中的極端思想【例1】1～8這八個(gè)數(shù)字各用一次，分別寫成兩個(gè)四位數(shù)，使這兩個(gè)數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個(gè)四這八個(gè)數(shù)字各用一次，分別寫成兩個(gè)四位數(shù)，使這兩個(gè)數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個(gè)四位數(shù)各是多少？位數(shù)各是多少？【【【【8531和7642。高位數(shù)字越大，乘積越大，所以它們的千位分別是8，7，百位分別是6，5。兩數(shù)和一定時(shí)，這兩數(shù)越接近乘積越大，所以一個(gè)數(shù)的前兩位是85，另一個(gè)數(shù)的前兩位是76。同理可確定十位和個(gè)位數(shù).【鞏固鞏固

2、】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和是兩個(gè)自然數(shù)的和是1515，要使兩個(gè)整數(shù)的乘積最大，這兩個(gè)整數(shù)各是多少？，要使兩個(gè)整數(shù)的乘積最大，這兩個(gè)整數(shù)各是多少？【【【【將兩個(gè)自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：15=114，114=14；15=213，213=26；15=312，312=36；15=411，411=44；15=510，510=50；15=69，69=54；15=78，78=56。由此可知把15分成7與

3、8之和，這兩數(shù)的乘積最大。結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)的和一定，那么這兩個(gè)整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，他們的乘積最大.【鞏固鞏固】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的積是兩個(gè)自然數(shù)的積是4848，這兩個(gè)自然數(shù)是什么值時(shí)，它們的和最小？，這兩個(gè)自然數(shù)是什么值時(shí)，它們的和最??？【【【【48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。所以，兩個(gè)自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：48=148，148=49；48=224，2

4、24=26；48=316，316=19；48=412，412=16；48=68，68=14。兩個(gè)因數(shù)之和最小的是68=14。結(jié)論：兩個(gè)自然數(shù)的乘積一定時(shí)，兩個(gè)自然數(shù)的差越小，這兩個(gè)自然數(shù)的和也越小?！纠?】有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫為有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如止，如257257，14591459等等，這類數(shù)中最大的自然數(shù)是

5、多少？等等，這類數(shù)中最大的自然數(shù)是多少？【【【【要想使自然數(shù)盡量大，數(shù)位就要盡量多，所以數(shù)位高的數(shù)值應(yīng)盡量小，故10112358滿足條件如果最前面的兩個(gè)數(shù)字越大，則按規(guī)則構(gòu)造的數(shù)的位數(shù)較少，所以最前面兩個(gè)數(shù)字盡可能地小，取1與0【例3】有一類自然數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為有一類自然數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為2003，那么這類自然數(shù)中最小的是幾？，那么這類自然數(shù)中最小的是幾？【【【【一個(gè)自然數(shù)的值要最小，首先要求它的數(shù)位最小，其次

6、要求高位的數(shù)值盡可能地小.由于各數(shù)位上的和固定為2003，要想數(shù)位最少，各位數(shù)上的和就要盡可能多地取9，而20039=222……5，所以滿足條件的最小自然數(shù)為：?2229599...9個(gè)第七講：最大與最小為減數(shù)，那么和數(shù)將要減少這個(gè)數(shù)的2倍。因?yàn)?537＝18，所以我們變成減數(shù)的這些數(shù)之和是182=9。對(duì)于大于2的數(shù)來說，兩數(shù)之和總是比兩數(shù)乘積小，為了使這些減數(shù)的乘積盡可能大，減數(shù)越多越好（不包括1）。9最多可拆成三數(shù)之和2＋3＋4=9

7、，因此這些減數(shù)的最大乘積是234＝24，添上加、減號(hào)的算式是：10＋9＋8＋7＋6＋5432＋1＝37。模塊二、智巧趣題中的極端思想模塊二、智巧趣題中的極端思想【例10】9999個(gè)蘋果要分給一群小朋友，每一個(gè)小朋友所分得的蘋果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要個(gè)蘋果要分給一群小朋友，每一個(gè)小朋友所分得的蘋果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要有一個(gè)蘋果問：這群小朋友最多有幾位有一個(gè)蘋果問：這群小朋友最多有幾位【【【【123…13=91＜99，

8、123…14=105＞99，說明若13位各分得1，2，3，…，13個(gè)蘋果，未分完99個(gè)，若14位各分得1，2，3，…，14個(gè)蘋果，則超出99個(gè)因918=99，在13位上述分法中若把剩下的8個(gè)蘋果分別加到后8位人上，就可得合題意的一個(gè)分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14個(gè)所以最多有13位小朋友(注：13人的分法不唯一)【例11】（第四屆希望杯（第四屆希望杯1試）一位工人要將一批貨物運(yùn)上山，假定運(yùn)了

9、試）一位工人要將一批貨物運(yùn)上山，假定運(yùn)了5次，每次的搬運(yùn)量相同，運(yùn)次，每次的搬運(yùn)量相同，運(yùn)到的貨物比這批貨物的到的貨物比這批貨物的多一些，比多一些，比少一些。按這樣的運(yùn)法，他運(yùn)完這批貨物最少共要運(yùn)少一些。按這樣的運(yùn)法，他運(yùn)完這批貨物最少共要運(yùn)3534次，最多共要運(yùn)次，最多共要運(yùn)次。次。【【【【這道題目用到了極值判斷法，體會(huì)極值判斷法：假定假定5次運(yùn)的恰好等于次運(yùn)的恰好等于，則每一次最少運(yùn)，則每一次最少運(yùn)5=5=，所以最多運(yùn)，所以最多運(yùn)1

10、1=≈9≈9次；次；5353253253183假定假定5次運(yùn)的恰好等于次運(yùn)的恰好等于，則每一次最多運(yùn)，則每一次最多運(yùn)5=5=，所以最少運(yùn)，所以最少運(yùn)11=≈7≈7次.3434320320263【例12】某學(xué)校，星期一有某學(xué)校，星期一有15名學(xué)生遲到，星期二有名學(xué)生遲到，星期二有12名學(xué)生遲到，星期三有名學(xué)生遲到，星期三有9名學(xué)生遲到，如果有名學(xué)生遲到，如果有22名學(xué)生在這三天中至少遲到過一次，則這三天都遲到的學(xué)生最多有多少人？名學(xué)生在這

11、三天中至少遲到過一次，則這三天都遲到的學(xué)生最多有多少人？【【【【三天都遲到的要盡量多，則將遲到的22人次分為僅遲到一次和三天都遲到的可求出三天都遲到的學(xué)生最多有(1512922)2=7(人)【鞏固鞏固】某次數(shù)學(xué)、英語測(cè)試，所有參加測(cè)試者的得分都是自然數(shù)，最高得分某次數(shù)學(xué)、英語測(cè)試，所有參加測(cè)試者的得分都是自然數(shù)，最高得分198198，最低得分，最低得分169169，沒有，沒有得193193分、分、185185分和分和177177分，并且

12、至少有分，并且至少有6人得同一分?jǐn)?shù)，參加測(cè)試的至少多少人？人得同一分?jǐn)?shù)，參加測(cè)試的至少多少人？【【【【得分?jǐn)?shù)共有19816913=27(種)，當(dāng)只有6個(gè)人得分相同時(shí)，參加測(cè)試的人最少，共有2761=32(人)【例13】149149位議員中選舉一位議長(zhǎng)，每人可投一票候選人是位議員中選舉一位議長(zhǎng)，每人可投一票候選人是A，B，C三人開票中途，三人開票中途，A已得已得4545票，票，B已得已得2020票，票，C已得已得3535票如果票數(shù)最多者當(dāng)

13、選，那么票如果票數(shù)最多者當(dāng)選，那么A至少再有多少票才能一定當(dāng)選至少再有多少票才能一定當(dāng)選【【【【452035=100，還有149100=49(票)4535=10，如果49票中有10票都給C，4910=39，那么A至少還要有20票才能當(dāng)選【例14】如圖，司機(jī)開車按順序到五個(gè)車站接學(xué)生到學(xué)校，每個(gè)站都有學(xué)生上車第一站上了一批學(xué)生，如圖，司機(jī)開車按順序到五個(gè)車站接學(xué)生到學(xué)校，每個(gè)站都有學(xué)生上車第一站上了一批學(xué)生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上

14、車人數(shù)的一半車到學(xué)校時(shí)，車上最少以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半車到學(xué)校時(shí)，車上最少有多少學(xué)生有多少學(xué)生【【【【因?yàn)槊總€(gè)站都有學(xué)生上車，所以第五站至少有1個(gè)學(xué)生上車假如第五站只有一個(gè)學(xué)生上車，那么第四、三、二、一站上車的人數(shù)分別是2，4，8，16個(gè)因此五個(gè)站上車的人數(shù)共有124816=31(人)，很明顯，如果第五站有不止一個(gè)學(xué)生上車，那么上車的總?cè)藬?shù)一定多于31個(gè)所以，最少有31個(gè)學(xué)生【例15】某公共汽車從起點(diǎn)開往終點(diǎn)站，中途

15、共有某公共汽車從起點(diǎn)開往終點(diǎn)站，中途共有1515個(gè)停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站開出，除個(gè)停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，那么為了使每終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，那么為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應(yīng)有多少個(gè)座位？位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應(yīng)有多少個(gè)座位？【【【【（法1）：只需求車上最多有多少人。依題意