奧數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)例題、練習及答案

1、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）教學目標：教學目標：1通過學生對應用題的條件與問題的全面分析，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的意識。2通過比較與辨析，使學生進一步理解和掌握“最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)”應用題的解題規(guī)律。3培養(yǎng)學生的合作交流意識和創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的空間觀念與想像力。教學過程：教學過程：一、基本概念知識一、基本概念知識1.1.公約數(shù)和最大公約數(shù)公約數(shù)和最大公約數(shù)①如果一個自然數(shù)如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)能

2、被自然數(shù)b整除，那么稱整除，那么稱a為b的倍數(shù)，的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。的約數(shù)。②如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，1218的約數(shù)有：1，2，3

3、，6，9，18。自然數(shù)的最大公約數(shù)通常用符號（）表示，例如，12和18的公約naaa21?naaa21?數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作(12，18)=6。（8，12）=4，（6，9，15）=3。2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)③如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一

4、個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，…自然數(shù)的最小公倍數(shù)通常用符號[]表示，例如12和18的公倍數(shù)有：naaa21?naaa21?36，72，….其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。[8，12]=24，[6，9，15]=90。3

5、.3.互質(zhì)數(shù)互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。用短除法求若干個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：用短除法求若干個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：求個數(shù)的最大公約數(shù)：個數(shù)的最大公約數(shù)：n（1）必須每次都用個數(shù)的公約數(shù)去除；n（2）一直除到個數(shù)的商

6、互質(zhì)（但不一定兩兩互質(zhì)）；n（3）個數(shù)的最大公約數(shù)即為短除式中所有除數(shù)的乘積。n求個數(shù)的最小公倍數(shù)：n（1）必須先用（如果有）個數(shù)的公約數(shù)去除，除到個數(shù)沒有除去1以外的公約數(shù)后，在nn用個數(shù)的公約數(shù)去除，除到個數(shù)沒有除1以外的公約數(shù)后，再用個數(shù)的1n?1n?2n?公約數(shù)去除，如此繼續(xù)下去，為保證這一條，每次所用的除數(shù)均可選質(zhì)數(shù)；（2）只要有兩個數(shù)（被除數(shù)）能被同一數(shù)整除，就要繼續(xù)除，一定要除到個數(shù)的商兩兩互n質(zhì)為止；（3）個數(shù)的最小公倍

7、數(shù)即為短除式中，所有除數(shù)和最后兩兩互質(zhì)的商的乘積。n所以，對角線共經(jīng)過格點（30，24）1=5（個）。例5甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？分析與解分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點相會，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應是60，75，90的公倍數(shù)。所求時間為[60，75，90]=900（秒）=15（分）。例

8、6爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？分析與解分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。[6，5，4，3，2]=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)