4最大公約數和最小公倍數

1、第四講第四講最大公約數和最小公倍數最大公約數和最小公倍數本講重點解決與最大公約數和最小公倍數有關的另一類問題——有關兩個自然數.它們的最大公約數、最小公倍數之間的相互關系的問題。定理1兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質.即如果（a，b）=d，那么（ad，bd）＝1。證明：設ad=a1，bd=b1，那么a＝a1d，b=b1d。假設（a1，b1）≠1，可設（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，

2、b2是整數）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。那么md是a、b的公約數。又∵m＞1，∵md＞d。這就與d是a、b的最大公約數相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假設是不正確的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（ad，bd）＝1。定理2兩個數的最小公倍數與最大公約數的乘積等于這兩個數的乘積.（證明略）定理3兩個數的公約數一定是這兩個數的最大公約數的約數.（證明略）下面我們就應用這些知識來解決一些具體的問題。例1甲數是36，

3、甲、乙兩數的最大公約數是4，最小公倍數是288，求乙數.解法1：由甲數乙數=甲、乙兩數的最大公約數兩數的最小公倍數，可得36乙數=4288，乙數=428836，解出乙數=32。答：乙數是32。解法2：因為甲、乙兩數的最大公約數為4，則甲數=49，設乙數=4b1，且（b1，9）=1。a1b1=10。滿足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：答：這兩個數為5與45或15與35。例4已知兩個自然數的積為240，最小公倍數為60，求這兩個數。解