七年級數(shù)學(xué)競賽講座第三十二講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

1、第三十二講第三十二講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)如圖，一個圓圈上有n(n＜100＝個孔小明像玩跳棋一樣，從A孔出發(fā)，逆時針方向?qū)⒁幻镀遄犹鴦?，每步跨過若干個孔，希望跳一圈后回到A孔他先每步跳過2個孔，結(jié)果只能跳到B孔；他又試著每步跳過4個孔，結(jié)果還是跳到B；最后他每步跳過6孔，正好回到A孔問這個圓圈上一共有多少個孔思路點撥思路點撥依題意，每步跳過2孔，連起點一共要跳過3個孔，故除掉B孔外，圓圈上的孔數(shù)是3的倍數(shù)，有3│n

2、—1；每步跳過4個孔，連起點一步要跳過5個孔，故除掉B孔外，圓圈上的孔數(shù)是5的倍數(shù)，因此，有5│n—1；又每步跳過6個孔時，可回到A孔，這表明7│n因(3，5)=1，故15│n—1因n100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中僅有91是7的倍數(shù)，故n=91，即圓圈上有91個孔知識要點：1(1)設(shè)a1，a2是兩個整數(shù)，如果d│a1，，d│a2，那么d就稱為a1和a2的公約數(shù)一般地，設(shè)是k個整數(shù)如果d│a1，…d│ak，那

3、么d就稱為的公約數(shù)kaaa、、、?21kaaa、、、?21(2)設(shè)a1，a2是兩個不全為零的整數(shù)，那么的公約數(shù)中最大的稱為a1和a2的最大公約數(shù)，記作(a1，a2)一般地，設(shè)是k個不全為零的整數(shù)，那么的公約數(shù)中最大的稱為kaaa、、、?21kaaa、、、?21的最大公約數(shù)，記作(a1，a2，…，ak)的公約數(shù)一定是最大公約數(shù)的約kaaa、、、?21kaaa、、、?21數(shù)2設(shè)a1，a2是兩個均不等于零的整數(shù)，如果a1│，a2│，則稱是a1

4、，a2的公倍數(shù)，a1，a2的正lll的公倍數(shù)中最小的稱為a1與a2的最小公倍數(shù)一般地，設(shè)是k個均不等于零的整數(shù)如kaaa、、、?21果a1│，…，ak│，則稱是的公倍數(shù)，其中正的公倍數(shù)中最小的稱為lllkaaa、、、?21kaaa、、、?21的最小公倍數(shù)，其他公倍數(shù)一定是最小的公倍數(shù)的倍數(shù)3若將a，b進行質(zhì)因數(shù)分解，并將它們表示成，mmpppa????2121?mmpppb????2121?其中p1，p2，…，Pm為質(zhì)數(shù)，α1，α2，，

5、…αm，β1，β2，…，βm為非負(fù)整數(shù)，且設(shè)ti、ts分別為αi、βi(I=1，2，…，m)中的較小者與較大者，則(a，b)=，mtmttppp?2121[a，b]=msmssppp?21214最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的重要性質(zhì)(1)r如果│，則(a，b)=b，[a，b]=aba(2)對于任意的正整數(shù)m，有(am，bm)=m(a，b)，[am，bm]=m[a，b](3)若a=bgr(a＞b，0≤r＜b＝，則有(a，b)=(b，r)這一性質(zhì)

6、表示求(a，b)可轉(zhuǎn)化為求(b，r)由于b和r相對于a與b來說要小，求(b，r)應(yīng)較求(a，b)簡便若b和r仍比較大，可重復(fù)使用這一性質(zhì)這種方法稱之為輾轉(zhuǎn)相除法∵(x，y)=4，(y，z)=3，∴y是3與4的倍數(shù)，而3與4互質(zhì)，故y是12的倍數(shù)又∵[x，y，z]=60，∴y=12，60進而可求出x∵[x，y，z]=60=345當(dāng)y=12時，x、z中至少有一個含有因數(shù)5若x中有因數(shù)5，又x中有因數(shù)4，且4與5互質(zhì)，∴x中有因數(shù)20而[x，

7、y，z]=60，(x，y)=4，故x==20當(dāng)x中沒有因數(shù)5，∵x中有因數(shù)4，且x是60的約數(shù)，∴x=4，或x=12，而(x，y)=4，故x=4當(dāng)y=60時，(x，y)=4，而x中沒有因數(shù)5，且[x，y，z]=60=345，故x=4因此，張華發(fā)出的賀年卡為4張或20張注(1)本題的切入點是最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)；(2)注意答案的兩種可能性【例4】在一間屋子里有100盞電燈排成一橫行，依從左到右的順序編上號碼1，2，3，…，100每盞電燈

8、上有一根拉線開關(guān)，最初所有電燈全是關(guān)的，現(xiàn)有100個學(xué)生在門外排著隊，第一個學(xué)生走進屋來，把編號是1的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉一下；接著第二個學(xué)生走進屋來，把凡是編號是2的倍數(shù)的電燈開關(guān)拉了一下；…；最后第100個學(xué)生走進屋來，把編號是100的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下，這樣做過以后，問哪些電燈是亮的思路點撥思路點撥由于最初所有電燈是關(guān)著的，所以只有那些拉了奇數(shù)次開關(guān)的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關(guān)被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多

9、少個不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)所以，只有編號為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的電燈最后是亮著的注：本題的一個重要條件是最初時燈都是關(guān)著的然后對每個編號分解質(zhì)因數(shù)【例5】兩個正整數(shù)的和是60，它們的最小公倍數(shù)是273，則它們的乘積是()A273B819C1911R3549思路點撥思路點撥設(shè)兩個正整數(shù)為a與b，則ab=60=2235，[a，b]=273=3713顯然，a，b的最大公約數(shù)是1或3如

10、果(a，b)=1，則[a，b]=aba、b只能取21、13，7、39，1、273，3、91，其和均不為60因此，(a，b)=3，于是a=37，b=313，∴ab=(37)(3X3)=819故選B注：本題的精妙之處在于由ab和[a，b]的兩個質(zhì)因式的分解，確定出a和b的最大公為數(shù)是1或3【例6】用整元的人民幣購物，若用多于7元的任意元錢去買單價為3元和5元的兩種雪糕，一定可以把錢花完，請證明這一結(jié)論思路點撥思路點撥用任意元錢n(n＞7)去

11、買單價為3元的雪糕，只能余l(xiāng)元或2元若余2元時，少買一根3元雪糕，余數(shù)就為23=5元，恰能買一塊5元的雪糕若余1元時，少買3根3元的雪糕，余數(shù)為133=10元，恰能買2根5元雪糕若n能被3整除，就用所有錢去買3元的雪糕，恰合題意注：由3的同余數(shù)入手分類，結(jié)合拼湊法使問題得到證明【例7】已知兩數(shù)和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和是84，求此二數(shù)思路點撥思路點撥設(shè)所求二數(shù)為x，y，且(x，y)=d，令x=ad，y=bd，則(a，b)