回避分類討論

1、回避分類討論巧求雙曲線方程分類討論是中學數學的重要思想方法.在雙曲線問題中也不可避免地要應用到這一重要思想.其中雙曲線的焦點不確定是引起分類討論的重要因素.但是分類討論不是絕對的也就是說有些分類討論是可以回避的.而回避分類討論有時可以降低題目的難度減少運算步驟.下面舉例說明.例1.已知雙曲線的對稱軸為坐標軸中心在原點且過點A(23)和點B(－1).求雙曲線的233方程.[解析]:本題不知道焦點在哪個坐標軸上一般需要分兩種情況進行討論.為

2、了避免討論可以設雙曲線方程為:()把點A(23)和點B(－1)代入雙曲線可得方程組221xymn??0mn?233解之得故所求雙曲線的方程為:.4914131mnmn???????????13mn?????2213yx??[評析]:如果焦點明確在哪個坐標軸上可以根據標準方程設雙曲線方程為(22221xyab??)或().若焦點的位置不能明確在x軸還是在y軸則可0a?0b?22221yxab??0a?0b?設為()或者干脆設成().這樣就

3、簡化了運算步驟221xymn??0mn?221mxny??0mn?使問題變得簡單.例2.求與雙曲線共漸近線且過點A的雙曲線方程.221169xy??(233)?[解析]:根據雙曲線漸近線和方程的關系可設所求雙曲線為把點A22169xy???(0)??代入可得即雙曲線方程為整理即得(233)?129169???14???2211694xy???.221944yx??[評析]:由于本題所求雙曲線的焦點不能確定在x軸還是在y軸一般情況下也是分

4、兩種情況進行討論.其實若已知雙曲線的漸近線為方程即可化為則不論雙曲byxa??22220xyab??線的焦點在x軸或者y軸對應的雙曲線方程都可設為這樣就可以避2222xyab???(0)??免分類討論從而減小運算量.例3.已知直線:和直線:被雙曲線截得的線段長分別為2和求雙曲線1l1x?2l4yx?417的方程.[解析]:由于不能確定雙曲線焦點在哪個坐標軸上為了避免分類討論并有利于運算設雙曲線的方程為:().把代入雙曲線方程可得故直線被

5、221mxny??0mn?1x?1myn???1l截得的線段長為(1)122mn???1mn??把代入雙曲線方程可得故直線被截得的線段長為4yx?116xmn???2l(2).2114|2|41716mn????1164mn??故由(1)(2)可得.故所求雙曲線方程為.2120m?120n?221202021xy??[評析]:本題牽涉到直線與雙曲線相交的問題本來計算量就比較大若進行分類討論也就是雙倍的計算量這里巧妙地設雙曲線地方程().