2013動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析1

1、動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析一、問題原型：一、問題原型：如圖11，要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋€(gè)泵站，分別向、兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個(gè)“確定最短路線”問題，是一個(gè)利用軸對(duì)稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、基本解法二、基本解法：對(duì)稱共線法。利用軸對(duì)稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長(zhǎng)度不變），確定動(dòng)點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長(zhǎng)度。三、一般結(jié)論三、一般結(jié)論：(在線段上時(shí)取等號(hào))（如圖12）線段

2、和最小，常見有三種類型：（一）（一）“|定動(dòng)定動(dòng)||定動(dòng)定動(dòng)|”型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小通過軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長(zhǎng)。1.兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。如圖13，作一定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，線段（是另一定點(diǎn)）與的交點(diǎn)即為距離和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)位置，最小距離和。例1（2006年

3、河南省中考題）如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是。解析：與關(guān)于直線對(duì)稱，連結(jié)，則。連結(jié)在中，，，則故的最小值為將向上平移河寬長(zhǎng)到，線段與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端點(diǎn)位置。四邊形為平行四邊形，，此時(shí)值最小。那么來往、兩村最短路程為：。例4(2010年天津市中考)在平面角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，，，為邊的中點(diǎn)。（1）若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，為邊

4、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)。解析：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，。（1）連接交軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)的周長(zhǎng)最小。由可知，那么，則。（2）將向左平移2個(gè)單位（）到點(diǎn)，定點(diǎn)、分別到動(dòng)點(diǎn)、的距離和等于為定點(diǎn)、到動(dòng)點(diǎn)的距離和，即。從而把“兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型。在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時(shí)值最小，則四邊形的周長(zhǎng)最小。由、可求直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，則。（也可以用（1）中相