向量空間

1、第9講 向量及其線性運算,主要內(nèi)容：1. 向量的概念2. 向量的線性運算,第3章 向量空間,向量也是重要的數(shù)學(xué)工具之一(中學(xué)). (重點從線性方程組, 矩陣轉(zhuǎn)移到向量.)借助于線性方程組可以討論向量的有關(guān)內(nèi)容,而有了向量知識后又可以更深入地討論線性方程組的解與解之間的關(guān)系. 實際上,向量空間的理論起源于對線性方程組解的研究. 同時,向量與矩陣之間有聯(lián)系也有區(qū)別.,3.1 向量及其線性運算,所謂向量空間,就是在向量之間定義了向

2、量的線性運算所構(gòu)成的一種代數(shù),又稱為向量代數(shù).3.1.1 向量的概念既有大小又有方向的量稱為向量.,通常用一條有向線段表示向量,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向. 表示向量時,用黑體及斜體的英文字母a, b, c, 或 , 或希臘字母?, ?, ?, ?等(或帶小標). 只討論與起點無關(guān)的向量. 當建立了平面坐標系以后,該平面內(nèi)的向量的起點可以認為均在平面坐標原點,于是可以用

3、該向量的終點坐標表示該向量,見圖3.1(平面向量). 在空間坐標系中有類似處理,見圖3.2 (空間向量).,在空間向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定順序的一個排列,分別表示該向量終點的橫坐標、縱坐標和豎坐標.,,,,,,,,,,,,,五門課程英語、線代、計導(dǎo)、高數(shù)、電路分析的考試成績可以按順序排成(92, 87, 45, 98, 76).對裝配完成的汽車要進行制動距離、最高車速、百公里耗油、滑行距離、廢氣排放量等六項指

4、標的測試, 測試結(jié)果(a1, a2, a3, a4, a5, a6).實際上,對于含n個未知量x1, x2, …, xn的n元線性方程組, 其一個解可以按x1, x2, …, xn的順序依次表示出來.,Def 3.1 將m個數(shù)a1, a2, …, am按一定順序排列所得到的數(shù)列稱為m維向量, 表示為 其中ai稱為是該向量的第i個分量或坐標.,當m = 1, 2, 3時，m維向量都有較直觀的幾何背景,分別表示起點在原點的數(shù)

5、軸、平面和空間上的向量,這是學(xué)習(xí)向量時的一個優(yōu)勢. 當m≥4時,m維向量沒有直觀的幾何解釋.向量可稱為矢量. 如果將m個任意元素，不一定是數(shù),按一定順序排列所得到的數(shù)組, 就是m元組的概念,它在計算機科學(xué)中更是經(jīng)常用到,向量與矩陣.不過看作矩陣它們是不相同的,但作為向量這兩種表示方式是相同的. 行向量和列向量. m×n 矩陣可以得到m個行向量和n個列向量.,每個分量均為實數(shù)的向量稱為實向量(real vector)

6、,每個分量均為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量(complex vector). 所有m維實向量組成的集合用Rm表示,其中R表示實數(shù)集合. 在今后的討論中,若無特別說明,所涉及的向量為實向量.,線性方程組Ax = b的一個解,寫成是線性方程組的一個解向量(solution vector).,先介紹三個概念.1. 兩個m維向量相等當且僅當其對應(yīng)的分量分別相等, 即 兩個維數(shù)不同的向量一定不等.,2. 分量全為0的m維向量稱為m

7、維零向量(zero vector),記為黑體0. 當然有不同的零向量,并注意實數(shù)0與向量0的區(qū)別.3. 負向量,3.1.2 向量的線性運算1、向量的加法運算在中學(xué)里,兩個向量α和β可以使用三角形法則或平行四邊形法則相加,這是早在公元前350年左右Aristotle就知道了.,,,,,,,,,當建立空間直角坐標系后，將向量α可表示為(a1, a2, a3)T，向量β可表示為(b1, b2, b3)T時，很容易知道α+β = (a1

8、+ b1, a2 + b2, a3 + b3) T. 一般地, 兩個向量α和β之和定義如下. Def 3.2,向量加法運算的性質(zhì). ?, ?, ? ? Rm:(1) ? +? = ? + ?. (加法交換律)(2) (? +?) + ? = ? + (? + ?).(加法結(jié)合律)(3) ? + 0 = ?. (加法單位元)(4) ? + (- ?) = 0 .(加法逆元),為了方便，將? + (-?) 記為? - ?，稱為向量

9、?和?的差(subtraction of ? and ?)，它是向量的減法運算. 兩個向量相減就是對應(yīng)的分量分別相減.,2、向量的數(shù)乘運算向量?和數(shù)?的數(shù)乘是一個向量，其大小為| ? |與向量?的大小乘積，其方向當? > 0 時與?相同，當? < 0 時與?相反，當? = 0 時是零向量，這時其方向可以是任意的. 在空間直角坐標系下:,Def 3.3例如:,對于任意向量? ，有-1? = - ? ， 0? =

10、0且對于任意?, ??Rm, ??R，有(5) 1? = ? .(6) (??)? = ? (??). (7) (? + ?)? = ?? + ??. (8) ? (? + ?) = ?? + ??. 上面的向量的線性運算性質(zhì)(1)—(8)是按線性空間所滿足的條件列舉的，參見3.6節(jié)定義3.13.,例3.1 設(shè)計算Solution,由于? + ? = ? + ?及? + (- ?) = 0，所以在進行向量的線性運算時