空間向量2

1、本章復習 本章復習1．在以下命題中，不正確的個數(shù)為( ) ①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共線的充要條件； ②若 a∥b，則存在惟一的實數(shù) λ，使 a＝λb； ③若 a·b＝0，b·c＝0，則 a＝c； ④若{a，b，c}為空間的一個基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間的另一基底； ⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|. A．2 B．3

2、 C．4 D．5 答案 C 解析 ①不正確，由|a|－|b|＝|a＋b|知 a 與b 反向，a 與b 共 ，但 線 a 與b 共 不一定有 線 |a|－|b|＝|a＋b|；②不正確， 加上 件 應 條 b≠0；③不正確，當b＝0 ， 時 a 與c 不一定相等；④正確；⑤不正確，應為|(a·b)·c|≤|a|·|b|·|c|.2．已知向量 a，b，且 ABuuu r＝a＋2b， BCuu

3、u r＝－5a＋6b，CDuuu r＝7a－2b，則一定共線的三點是( )A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案 A解析 BDuuu r＝ BCuuu r＋ CDuuu r＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2 ABuuu r，所以 ABuuu r、 BDuuu r共 ，所以 線A、B、D 共 ，故

4、線 選 A.3．已知 a 與 b 是非零向量且滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則 a 與 b 的夾角是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由已知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0 ∴a2＝2ab＝b2∴cos〈a，b〉＝＝＝ ∴〈a，b〉＝，∴選B 4．若 a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝

5、e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}為空間的一個基底)，且 d＝xa＋yb＋zc，則 x，y，z 分別為( )A.，－，－1 B.，，1 C．－，，1 D.，－，1 答案 A 解析 d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3＝e1＋2e2＋3e3，空 任一向 間量都可以用一 空 基底惟一表示， 而得到解得 個 間 從 x＝，y＝

6、－，z＝－1.5．若向量 a＝(1，x,2)，b＝(2，－1,2)，且 a，b 夾角的余弦值為，則 x 等于( ) A．2 B．－2 C．－2 或 D．2 或－ 答案 C 解析 cos〈a，b〉＝＝＝， 解得 x＝－2 或 x＝. 6．已知 a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以 a，b 為鄰邊的平行四邊形的面

7、積為________． 答案 解析 因為 |a|＝|b|，所以平行四 形 菱形， 邊 為又 a＋b＝(4,1,3)，a－b＝(0，－3,1)， |a＋b|＝，|a－b|＝， S＝|a＋b||a－b|＝××＝.| PA uuu r |＝a，|DE|＝a，cos〈 PAuuu r，DE〉＝ ·64 | |·| |PA DEPA DE= -uuu r uuu ruuu r uuu r ,∴ 面直 異

8、線 PA 與DE 所成角的余弦值為.(2)由(1)知 PAuuu r＝(a，－，－a)，AB uuu r＝(0，a,0)，DA uuu r＝(0，a,0)，平面 設(shè) PAB 的一 法向量 個 為 n＝(x，y，z)，則n⊥ PAuuu r，n⊥ ABuuu r＝(0，a,0)，∴n· PAuuu r＝xa－y－az＝0①n· ABuuu r＝y(tǒng)a＝0②由②得 y＝0，代入①得 xa－az＝0 令 x＝，則z＝2，∴n

9、＝(，0,2)．則D 到平面 PAB 的距離 d 等于 DAuuu r在 n 上射影的絕對值.DA nd n=uuu r＝＝a，即點 D 到平面 PAB 的距離等于 a. 9．在底面是直角梯形的四棱錐 S－ABCD 中，∠ABC＝90°，SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求面 SCD 與面 SBA 所成的二面角的正切值．解 建立如 所示的空 直角坐 系 圖 間 標 A－xyz，則A(0,0,0)，B(- 1

10、,0,0)C(- 1,1,0)，D(0， 12,0)，S(0,0,1)，SA uur＝(0,0，－1)， SB＝(－1,0，－1)，SC uuu r＝(－1,1，－1)， SD＝(0，，－1)平面 設(shè) SAB 的法向量為n1＝(x1，y1，z1)平面 SCD 的法向量為n2＝(x2，y2，z2) 平面 SAB 平面 與 SCD 所成的角為θ由 n1· SAuur＝0 與n1·SB＝0可得 n1＝(0,1,0)由 n2