§1 建立方程、定解條件

1、§1 建立方程、定解條件,方程的導出定解條件和定解問題變分原理分離變量法,1.方程的導出,本章研究調(diào)和方程（又稱拉普拉斯方程）,以及泊松方程,的基本定解問題及解的性質(zhì)。,(1.1),(1.2),(1) 引力位勢,經(jīng)計算可得：,直接計算可得：,還可進一步驗證：,(2) 靜電場的電位勢,,應(yīng)用高斯公式，上式可改寫為：,,由區(qū)域G的任意性得：,靜電場方程,由于靜電場是無旋場，因而存在電勢u，,從而靜電場的電勢u應(yīng)當滿足泊松方

2、程,如果靜電場的某一區(qū)域里沒有電荷，即ρ=0，則靜電場方程在該區(qū)域上簡化為拉普拉斯方程,(3) 穩(wěn)定溫度分布,2.定解條件和定解問題,(1) 第一邊值問題（Dirichlet問題）,(2) 第二邊值問題（Neumann問題）,(3) Dirichlet外問題,(4) Neumann外問題,注：當考慮外問題時，為保證解的唯一性，還需對解在無窮遠的狀況加以限制。在三維情形，通常要求：,其它邊界條件,(5) 第三類邊界條件,(6) 等值面邊

3、界條件 （總流量邊界條件）,3.變分原理,膜的平衡問題：,即：,(1),問題2的解答：,,(3),(5),4.分離變量法求解Laplace方程,(1) 矩形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題,代入方程(1)得：,分離變量：,,,由此得 X，Y 滿足得常微分方程：,由邊界條件(2)知：,得固有值問題：,解之得：,通解為,其中Ak，Bk為任意常數(shù)。,因此,是滿足方程(1)和邊界條件(2)的解。,疊加所有的Uk ，即,代入邊界條件(

4、3)，得：,由傅里葉正弦展式的系數(shù)公式得,解得：,(2) 圓形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題,(3),(4),即：,由此得 R，Θ 滿足得常微分方程：,由周期性條件(4)得:,固有值問題的討論：,(6),因此,是滿足方程(1)和自然邊界條件(3)以及周期性條件(4)的解。,,,由疊加原理，滿足(1)(3)(4)的解可表為：,代入邊界條件(2)得：,故,代入級數(shù)得：,證明,(3) 圓形區(qū)域上熱傳導方程的混合問題,即：,于是有：,