大學高等幾何課件

1、高等幾何多媒體課件,教師授課助手 學生自修向?qū)А?課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,高等幾何,,數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)主干課程之一,前三高,數(shù)學分析,高等代數(shù),高等幾何,,后三高,,實變函數(shù),近世代數(shù),點集拓撲,高等幾何,,射影幾何,幾何基礎,……,本課程,主要介紹平面射影幾何知識(教材前五章),,,綜合大學：空間解幾＋仿射幾何、射影幾何, 一個學期,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,什么是射影幾何？,,直觀

2、描述,歐氏幾何,仿射幾何,射影幾何,十九世紀名言,一切幾何學都是射影幾何,,,,,,鳥瞰下列幾何學,,歐氏幾何(初等幾何),,,研究圖形在“搬動”之下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量,搬動,,正交變換,,對圖形作有限次的平移、旋轉、軸反射的結果,歐氏幾何,,研究圖形的正交變換不變性的科學,,,(統(tǒng)稱不變性，如距離、角度、面積、體積等),仿射幾何,,,平行射影,仿射變換,,仿射幾何,,研究圖形的仿射變換不變性的科學,,透視仿射變換,有限次平行射影

3、的結果,仿射不變性,,比如——平行性、兩平行線段的比等等,,射影幾何,,,中心射影,射影變換,,射影幾何,,研究圖形的射影變換不變性的科學,,透視變換,有限次中心射影的結果,射影不變性,,比如——幾條直線共點、幾個點共線等等,,,射影變換將徹底改變我們原有的幾何空間觀念！,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,二、高等幾何的方法,,綜合法,,給定公理系統(tǒng)(一套相互獨立、無矛盾、完備的命題系統(tǒng))，演繹出全部內(nèi)容,,解析法,,形、

4、數(shù)結合，利用代數(shù)、分析的方法研究問題,,本課程,,以解析法為主，兼用綜合法,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,二、高等幾何的方法,三、開課目的,學習射影幾何，拓展幾何空間概念，引入幾何變換知識，接受變換群思想,訓練理性思維、抽象思維、邏輯推理能力，增強數(shù)學審美意識，提高數(shù)學修養(yǎng),新穎性，趣味性，技巧性，反饋于初等幾何和其他學科，提高觀點，加深理解，舉一反三,四、幾何的發(fā)展歷史線索,射影幾何學是一切的幾何學 ──[英] Cay

5、ley,經(jīng)驗幾何,（遠古─元前600年）,（元前600年─ 400年）,積累了豐富的經(jīng)驗，但未上升成系統(tǒng)理論,埃及幾何跟希臘邏輯方法相結合，以抽象化、邏輯化為特點,畫法幾何,解析幾何(17世紀),仿射幾何,（坐標法）,代數(shù)幾何,代數(shù)法,,微分幾何(19世紀),（分析方法）,射影幾何(19世紀),（綜合法、愛爾蘭根綱領代數(shù)法）,特例,應用,,四、幾何的發(fā)展歷史線索,非歐幾何,（19世紀）,四、幾何的發(fā)展歷史線索,拓撲學,（幾何與代數(shù)

6、、分析相結合，多樣化發(fā)展）,分形幾何,周學時3，一個學期，學習第一章～第六章,五、課程簡介,主要參考書：梅向明、門淑惠等編《高等幾何》,高等教育出版社出版，2008年; 朱德祥、朱維宗等編《高等幾何》（第二版）,高等教育出版社出版，2010年;羅崇善編《高等幾何》,高等教育出版社出版,1999年6月； 朱德祥、李忠映、徐學鈺等編《高等幾何習題解答》。,第一章 仿射坐標與仿射變換,,,本章地位,,學習射影幾何的基礎,本章內(nèi)容,,

7、闡明仿射變換的概念，研究仿射變換的不變量與不變性質(zhì)。,學習注意,,認真思考，牢固掌握基本概念，排除傳統(tǒng)習慣干擾,,,透視仿射對應,一、概念,與b交于,1、同一平面內(nèi)兩直線a到b間的透視對應，設L為平面上另外一直線,a與 b不平行。過a上的點 作與L平行的直線,即得a到b的一個一一映射，,稱為透視仿射對應。,注：透視仿射對應與L的方向無關。若a與b相交，交點稱為自對應點。,第一章、仿射坐標與仿射變換,,兩條直線

8、間的透視仿射對應,,L,a,b,,第一章、仿射坐標與仿射變換,兩個平面間的透視仿射對應,,,,,,M,A,B,C,A1,B1,C1,,L,,,,第一章、仿射坐標與仿射變換,2、定義,,,,,P1,P2,P,第一章、仿射坐標與仿射變換,稱,,,2). 符號,(P1P2P)表示一個數(shù), 是有向線段P1P與P2P的比值, 與解幾中的定比分點反號.,3）.與定比的區(qū)別,§ 1 透視仿射對應,,,二性質(zhì),3保平行性,2保單比不變,

9、67; 1 透視仿射對應,1保同素性和結合性,第一章、仿射坐標與仿射變換,第二節(jié)、 仿射對應與仿射變換,一、概念,設同一平面內(nèi)有n條直線，,如下圖,是,的透視仿射對應,經(jīng)過這一串對應，得到,的透視仿射對應，,,這個對應稱為,的仿射對應。,記作：,如圖所示：,第一章、仿射坐標與仿射變換,如圖,第一章、仿射坐標與仿射變換,二、性質(zhì),為什么？,第一章、仿射坐標與仿射變換,（1）保持同素性和結合性；,（2）保持共線三點的單比不變；,（3）保持直

10、線的平行性不變。,注：仿射對應下，對應點的連線不一定平行。,反之，若兩個平面間的一個點對應（變換）保持同素性、結合性和共線三點的單比不變，則這個點對應（變換）稱為仿射對應（變換）,例１、平行四邊形經(jīng)仿射（對應）變換仍變?yōu)槠叫兴倪呅?例２、兩平行線段之比經(jīng)仿射對應不變,例３、仿射對應保持平形性不變,第一章、仿射坐標與仿射變換,,第三節(jié)、仿射坐標系,第一章、仿射坐標與仿射變換,第一章、仿射坐標與仿射變換,仿射變換的坐標表示,已知仿射坐標：　

11、　　　仿射變換為:T 變換將 ： 　　　　　　　且,第一章、仿射坐標與仿射變換,平行四邊形 變?yōu)槠叫兴倪呅?，且保持單比不變，故 在坐標系 中的坐標為 (x,y),,,,,,,,,,,o,o/,p,p/,px,py,px/,py/,x,y,y/,x/,第一章、仿射坐標與仿射變換,一方面 ：,,另一方面：所以：,第一章、仿射坐標與仿射變換,例

12、已知三點 求仿射變換T使順次變?yōu)?.,練習：1、求使直線 分別變?yōu)?的仿射變換。 2、已知仿射變換

13、求點的像點，及直線 的像直線。,第一章、仿射坐標與仿射變換,復習仿射坐標及代數(shù)表示式,正交變換位似變換,第一章、仿射坐標與仿射變換,相似變換壓縮變換,第一章、仿射坐標與仿射變換,第四節(jié)、仿射性質(zhì),一、定義：圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)（量），稱為圖形的仿射性質(zhì)（量）,第一章、仿射坐標與仿射變換,同素性，結合性，平行性是仿射性質(zhì)。單比是仿射不變量。,證明：兩平行直線經(jīng)

14、過仿射變換后仍變?yōu)槠叫兄本€,證明：設變換為：T:,第一章、仿射坐標與仿射變換,例,二、重要結論：,1、兩相交直線經(jīng)仿射變換后仍為相交直線。,第一章、仿射坐標與仿射變換,2、共點直線仍變?yōu)楣颤c直線,3、兩平行線段之比是仿射不變量。,4、兩三角形面積之比是仿射不變量（證明見課本）,5、兩個多邊形面積之比是仿射不變量6、兩封閉圖形面積之比是仿射不變量,例、求橢圓的面積,,,,,A,B,C,O,D,第一章、仿射坐標與仿射變換,設在笛卡爾直角

15、坐標系下橢圓方程 為,：,第一章、仿射坐標與仿射變換,§ 2.1 射影平面,,,一、中心射影,1、平面上兩直線間的中心射影,定義1.22,因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影,OP 投射線,P' l 上的點P在l'上的像,P l' 上的點P'在l上的像,OV'//l, 與l不相交， V'為l'上的影消點,影消點的存

16、在，導致兩直線間的中心射影不是一個一一對應!,X=l×l' 自對應點,OU//l', 與l'不相交， U為l上的影消點,三個特殊點：,§ 2.1 射影平面,,,一、中心射影,2、平面到平面的中心射影,定義1.23,OP 投射線,P' π 上的點P 在π'上的像,P π' 上的點P'在π上的像,因此 ，,是π'到π的中心射影,自對應

17、直線(不變直線),三條特殊的線：,， u為由影消點構成的影消線,， v'為由影消點構成的影消線,影消線的存在導致兩平面間的中心射影不是一個一一對應,§ 2.1 射影平面,,,一、中心射影,1、平面上兩直線間的中心射影,定義1.22,2、平面到平面的中心射影,定義1.23,},均不是一一對應,中心射影不是雙射的原因：存在影消點、影消線,存在影消點、影消線的原因：平行的直線沒有交點,如何使得中心射影成為一一對應？,給平行線

18、添加交點！,,,一、中心射影,二、無窮遠元素,目標：,改造空間，使得中心射影成為雙射,途徑：,給平行直線添加交點,要求：,不破壞下列兩個基本關系,兩條相異直線確定惟一一個點(交點),兩個相異點確定惟一一條直線(連線),},點與直線的關聯(lián)關系,§ 2.1 射影平面,§ 2.1 射影平面,,,二、無窮遠元素,約定1.1 (1) 在每一條直線上添加惟一一個點，此點不是該直線上原有的點. 稱為無窮遠點(理想點)，記作P

19、∞ (2) 相互平行的直線上添加的無窮遠點相同, 不平行的直線上添加的無窮遠點不同.,區(qū)別起見，稱平面上原有的點為有窮遠點(通常點)，記作P,,約定1.1 (3) 按約定(1), (2)添加無窮遠點之后，平面上全體無窮遠點構成一條直線，稱為無窮遠直線(理想直線)，記作l∞,區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠直線(通常直線)，l,,總結：在平面上添加無窮遠元素之后，沒有破壞點與直線的關聯(lián)關系，同時使得中心射影成為一一

20、對應.,,§ 2.1 射影平面,,,理解約定1.1(1), (2),1、對應平面上每一方向，有惟一無窮遠點. 平行的直線交于同一無窮遠點；交于同一無窮遠點的直線相互平行.,2、每一條通常直線上有且僅有一個無窮遠點.,3、平面上添加的無窮遠點個數(shù)＝過一個通常點的直線數(shù).,4、不平行的直線上的無窮遠點不同. 因而，對于通常直線：,兩直線,平 行,不平行,交于惟一,無窮遠點,有窮遠點,,平面上任二直線總相交,5、空間中每一組

21、平行直線交于惟一無窮遠點.,6、任一直線與其平行平面交于惟一無窮遠點.,,§ 2.1 射影平面,,,理解約定1.1(3),1、無窮遠直線為無窮遠點的軌跡. 無窮遠直線上的點均為無窮遠點；平面上任何無窮遠點均在無窮遠直線上.,2、每一條通常直線與無窮遠直線有且僅有一個交點為該直線上的無窮遠點.,3、每一平面上有且僅有一條無窮遠直線.,4、每一組平行平面有且僅有一條交線為無窮遠直線；過同一條無窮遠直線的平面相互平行. 因而，對于

22、通常平面：,兩平面,平 行,不平行,交于惟一,無窮遠直線,有窮遠直線,,空間中任二平面必相交于唯一直線,,§ 2.1 射影平面,,,三、射影平面,定義 通常點和無窮遠點統(tǒng)稱拓廣點； 添加無窮遠點后的直線和無窮遠直線統(tǒng)稱為拓廣直線(射影仿射直線)； 添加無窮遠直線后的平面稱為拓廣平面(射影仿射平面).,定理 在拓廣平面上, 點與直線的關聯(lián)關系成立： (1) 兩個相異的拓廣點確定惟一一條拓廣直

23、線； (2) 兩條相異的拓廣直線確定惟一一個拓廣點.,(1) 拓廣直線的封閉性,拓廣直線：向兩方前進最終都到達同一個無窮遠點,四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質(zhì)及模型,歐氏直線：向兩個方向無限伸展,1、拓廣直線(射影仿射直線),§ 2.1 射影平面,,,(2) 拓廣直線的拓撲模型,§ 2.1 射影平面,,,(3) 射影直線上點的分離關系,歐氏直線：一點區(qū)分直線為兩個部分。,射影直線：一點不能區(qū)分直線

24、為兩個部分。,歐氏直線：兩點確定直線上的一條線段。,射影直線：兩點不能確定直線上的一條線段。,點偶A,B分離點偶C,D,點偶A,B不分離點偶C,D,§ 2.1 射影平面,,,(i) 任一直線劃分歐氏平面為兩個不同的區(qū)域,任一直線不能劃分射影平面為兩個不同的區(qū)域,(ii) 兩條相交直線劃分歐氏平面為四個不同的區(qū)域,兩條相交直線劃分射影平面為兩個不同的區(qū)域,在射影平面上，可以證明：,,I，II為同一區(qū)域,III，IV為同一區(qū)域,

25、2、射影平面(射影仿射平面),四、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型,(1) 射影平面的封閉性(從兩個方面理解),,,2、射影平面(射影仿射平面),四、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型,射影平面的封閉性,§ 2.1 射影平面,§ 1.4 Desargues透視定理,,,一、Desargues透視定理,一個古老、美麗、實用的重要定理！,1、兩個三點形的對應關系,若兩個三點形對應頂點的連線共點，則稱這對對應三點形具

26、有透視中心，透視中心也稱為Desargues 點.,若兩個三點形對應邊的交點共線，則稱這對對應三點形具有透視軸，透視軸也稱為Desargues 線.,問題,請問你是怎樣畫出這兩個圖的？,,,畫圖過程演示,,,,一、Desargues透視定理,1、兩個三點形的對應關系,2、Desargues透視定理,定理,(Desargues透視定理及其逆),,注1、滿足Desargues定理的一對三點形稱為透視的三點形.,,§ 1.4 De

27、sargues透視定理,證明,Desargues定理畫圖過程演示,,,,一、Desargues透視定理,2、Desargues透視定理,注2、關于Desargues構圖. 左圖表示了一對透視的三點形ABC, A'B'C'.,左圖中共有10個點、10條直線，過每個點有三條直線；在每條直線上有三個點. 這10點, 10線地位平等，此圖稱為Desargues構圖.,§ 1.4 Desargues透視定理,分

28、析：為證X, Y, Z三點共線, 試在圖中找出一對對應三點形, 具有透視中心，且對應邊的交點恰為X, Y, Z.,,,二、應用舉例,1、證明共線點與共點線問題,由題給, X, Y, Z分別為三對直線的交點, 此三直線涉及到六個字母, 試,例1 在歐氏平面上, 設ΔABC的高線分別為AD, BE, CF. 而BC?EF=X, CA ?FD=Y, AB?DE=Z. 求證：X, Y, Z三點共線.,所以, 由三點形ABC?DEF的對應即得

29、結論.,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應用舉例,1、證明共線點與共點線問題,分析：因為R是動點，作R的另一個位置R'. 得到P', Q', 設P'Q', PQ交于C.只要證明A, B, C三點共線.,由OX, OY, OZ共點于O, 只要找到一對對應三點形，其三對對應頂點分別在OX, OY, OZ上, 且三雙對應邊交點恰為A, B, C即可.,如圖，PQR, P

30、9;Q'R'正是所需.,,例2 設OX, OY, OZ為三條定直線, A, B為定點, 其連線經(jīng)過O. R為OZ上的動點, 直線RA, RB分別與OX, OY交于P, Q. 求證：PQ經(jīng)過AB上的一個定點.,,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應用舉例,1、證明共線點與共點線問題,證明：考察三點形PQR與ABC，它們有透視中心S，從而它們有透視軸，即A1, B1, C1三點共線.,引申：同

31、理可證,例3 已知完全四點形PQRS, 其對邊三點形為ABC. 設A1=BC ? RQ, B1=AC ? RP, C1=AB ? PQ. 求證：A1, B1, C1三點共線.,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應用舉例,1、證明共線點與共點線問題,證明：設動點P的另一個位置為P', 依題意作圖, 得交點X', Y'.,考察三點形AXX'與BYY', 因為其對應邊的交點P

32、, C, P'共線，所以其對應頂點的連線AB, XY, X'Y'共點, 此點為AB上的定點.,例4 設A, B, C為不共線三點, P是過C的定直線上的動點, AP ? BC=X, AC ? BP=Y. 求證：XY經(jīng)過定點.,思考：考察三點形PXY與P'X'Y'進行證明.,思考：本題實際上與例2為同一個題目！,,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應用舉例,1、證明

33、共線點與共點線問題,證明：考察三點形ZBC和YLM, 有透視軸A, X, D. 即得結論.,2、不可及點的作圖問題,注：從現(xiàn)在開始，凡作圖問題，均指僅用無刻度直尺作圖.,例5 設XYZ為完全四點形ABCD的對邊三點形, XZ分別交AC, BD于L, M. 求證：YZ, BL, CM共點.,思考：還能有其他方法嗎？,,,,,,,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應用舉例,2、不可及點的作圖問題,例6. 已知平面

34、上二直線a, b, P為不在a, b上的一點. 不作出a, b的交點a ? b, 過P求作直線c, 使c經(jīng)過a ? b.,解. 作法：,(1). 在a, b外取異于P的一點O.,過O作三直,線l1, l2, l3.,設l1, l2, 分別交a, b于A1, A2; B1, B2.,(2). 連PA1, PB1分別交l3于A3, B3.,(3). 連A2A3, B2B3交于Q.,(4). PQ=c為所求直線.,證明：由作法，三點形A1A2

35、A3, B1B2B3有透視中心O. 故其對應邊的交點P=A1A3 ? B1B3, Q=A2A3 ? B2B3以及a ? b三點共線，即c=PQ經(jīng)過a, b的交點.,注：解作圖題必須包括作法、畫圖、證明三部分！,§ 1.4 Desargues透視定理,引入目的,,實現(xiàn)數(shù)、形結合，用解析法研究射影幾何,基本要求,,既能刻畫有窮遠點，也能刻畫無窮遠點,基本途徑,,從笛氏坐標出發(fā)，對通常點與笛氏坐標不矛盾,主要困難,,來自傳統(tǒng)笛氏坐

36、標的干擾,必須注意,,齊次坐標與笛氏坐標的根本區(qū)別在于齊次性，因此，學習訣竅是在齊次性的前提下靈活運用線性代數(shù)知識。盡管針對拓廣平面, 但是今后通用,齊次性問題,,幾乎無處不在的非零比例常數(shù)和比例關系,,,二、齊次點坐標,定義2.1,,,有窮遠點,無窮遠點,,非齊次,,齊次坐標,關系,,,,注,對一維齊次點坐標定義的進一步理解,§ 2 齊次坐標,1. 一維齊次點坐標,(x1, x2) (x2≠0),x,x= x1 /

37、x2,(x1, 0) (x1≠0),,,,(1).,都有齊次坐標,反之，,都對應唯一一點,(0, 0)不是任何點的齊次坐標.,(2).,與,是同一點的齊次坐標. 因此，,直線上每個點都有無窮多個齊次坐標，同一點的任意兩個齊次坐標之間相差一個非零比例常數(shù).,(3).,原點：(0, x2), 特別地，(0, 1).,無窮遠點：(x1, 0), 特別地，(1, 0).,二、齊次點坐標,§2 齊次坐標,1. 一維齊次點坐標,注

38、：定義2.1沒有解決無窮遠直線的問題.,,,引入,可視為,P為,通常點,無窮遠點,,,設 li: Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1, 2). 記 |AB| 表示,(1). P為通常點，,,設 P(x, y). 則,令|BC|=x1, |CA|=x2, |AB|=x3. 則,從而 x : y : 1=x1 : x2 : x3. 于是, 可以把與(x, y, 1)成比例的任何有序?qū)崝?shù)組(x1, x2, x3)作為點P的齊次坐標.,2

39、. 二維齊次點坐標,§ 2 齊次坐標,同樣有|BC|, |CA|.,,,引入,(2). P=P∞, l1 // l2. 即P∞為l1, l2方向上的無窮遠點.,目標：,構造P∞的齊次坐標，使之僅與l1, l2的方向(斜率)有關.,因l1 // l2. 故前述x3=0.考慮取(x1, x2, 0)為P∞的齊次坐標. 只要證明x1, x2僅與li的方向(斜率)有關.,當li不平行于y軸時，即x1≠0. 不難證明,其中λ為li

40、的斜率, 即(x1, x2, 0)表示方向為λ的無窮遠點. 特別地, 若x2=0, 則表示x軸上的無窮遠點.,當li平行于y軸時， λ=∞. 可合理地取(0, x2, 0) (x2≠0)為y軸上無窮遠點的齊次坐標.,引出定義,,2. 二維齊次點坐標,§2 齊次坐標,,,定義2.2,,,有窮遠點,方向為λ =x2/x1的無窮遠點,,非齊次,,齊次坐標,關系,,,,注,對二維齊次點坐標定義的進一步理解,,y軸上的無窮遠點,,,2

41、. 二維齊次點坐標,§ 2 齊次坐標,(x, y),x = x1 / x3, y = x2 / x3,(x1, x2, x3) (x3≠0),(x1, x2, 0) (x1≠0),(λ=x2/x1),(0, x2, 0) (x2≠0),無窮遠點,,,,,(1). 對任意的P∈π, 都有齊次坐標(x1, x2, x3). 對于通常點x3≠0；對于無窮遠點x3=0, 但x12+x22≠0. 反之, 任給(x1, x2,

42、x3) (x12+x22+x32≠0), 都對應惟一一點P∈π. (0, 0, 0)不是任何點的齊次坐標.,(2). 對任意的0≠ρ∈R, (x1, x2, x3)與(ρx1,ρx2,ρx3)是同一點的齊次坐標. 因此, 平面上每個點都有無窮多個齊次坐標, 同一點的任意兩個齊次坐標之間相差一個非零比例常數(shù).,(3). 原點：(0, 0, x3), 特別地(0, 0, 1); 無窮遠點(x1, x2, 0), 若x1≠0, 則可表為(1,

43、 λ, 0), 其中λ為該無窮遠點的方向. 特別地, x軸上的無窮遠點為(1, 0, 0), y軸上的無窮遠點為(0, 1, 0).,2. 二維齊次點坐標,§ 2 齊次坐標,,,二、二維齊次點坐標,例 1,求下列各點的齊次坐標.,(1).,,,,,,齊次坐標(一般形式),,特定一組,(2).,求直線,上的無窮遠點.,斜率,,代入,,所求無窮遠點為,也就是(4, 3, 0).,上的無窮遠點為,,§ 2 齊次

44、坐標,,,三、直線的齊次坐標方程,定理 2.1,在齊次坐標下，直線的方程為,(1.14),反之，(1.14)表示直線. 稱(1.14)為直線的齊次方程.,注：,定理2.1不僅給出了拓廣平面上直線的齊次方程，還對通常直線提供了齊次、非齊次方程互化的方法.,§ 2 齊次坐標,推論,過原點的直線的齊次方程為u1x1+u2x2=0.特別地, x軸: x2=0, y軸: x1=0, l∞: x3=0.,,,改變一下你的幾何學觀

45、點,,,,,,,點,直線,曲線,坐標,方程,點的軌跡,點幾何學,線幾何學,方程,坐標,直線族的包絡,四、齊次線坐標,§ 2 齊次坐標,線幾何學：以直線為基本幾何元素去表達其他幾何對象,,,四、齊次線坐標,1. 定義,將直線l：,中的系數(shù)稱為l的齊次線坐標，記作,注1,齊次線坐標與齊次點坐標有完全相同的代數(shù)結構和性質(zhì).,注2,y軸：,x軸：,過原點的直線：,思考：注2中這些直線的齊次坐標分別與哪些點的齊次坐標相同(忽略括號差別

46、)？,注3,由定義,,方程,系數(shù),坐標,,,實現(xiàn)互化, 故ψ由φ誘導.,§ 2齊次坐標,,,定理2.3 在齊次線坐標下，點x在直線u上?,2. 點的齊次方程,§ 2 齊次坐標,定義2.5 在齊次線坐標下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且僅能被過點P的直線的齊次坐標所滿足，則稱 f=0 為點 P 的齊次方程.,,,2. 點的齊次方程,§ 2 齊次坐標,四、齊次線坐標,注,對(1.4)的新理解

47、.,,,,,,,(1.4),變 (流動),不變(常數(shù)),直線u的方程,幾何意義,動點x在定直線u上；,定直線u為動點x的軌跡,點幾何觀點,線幾何觀點,不變(常數(shù)),變 (流動),點x的 方程,動直線u過定點x；,定點x為動直線u的包絡,因此，一般地，稱(1.4)為點與直線的齊次關聯(lián)關系. 點、直線統(tǒng)稱為幾何元素.,給定齊次方程,,,四、齊次線坐標,2. 點的齊次方程,例 2,求下列各點的齊次方程.,(1). x軸上的無窮遠點,(2

48、). y軸上的無窮遠點,(3). 原點,(4). 點(1,2,2),(5). 方向為,的無窮遠點,(6). 無窮遠直線上的點,思考：本例中這些點的齊次方程分別與哪些直線的齊次方程形式上相同？,§ 2 齊次坐標,(3,–1,0),§ 3 對偶原理,,,一、平面對偶原則,重要原理！ 貫穿全書！,1. 基本概念,(1). 對偶元素,點,,直線,(2). 對偶運算,過一點作一直線,,在一直線上取一點,(4). 對偶

49、圖形,在射影平面上，設已知由點、直線及其關聯(lián)關系,構成的圖形Σ，若對Σ作對偶變換，則得到另一個圖形Σ'. 稱Σ、 Σ'為一對對偶圖形.,圖形Σ,圖形Σ',作對偶變換,,,互為對偶圖形,(3). 對偶變換,互換對偶元素地位、作對偶運算,,,一、平面對偶原則,2. 基本對偶圖形舉例,,(1) 點,(1)' 直線,(2) 點列(共線點集),(2)' 線束(共點線集),(3) 點場(共面點集),(3)&#

50、39; 線場(共面線集),(4) 簡單n點形：n個點(其中無三點共線)及其兩兩順次連線構成的圖形.,(4)' 簡單n線形：n條直線(其中無三線共點)及其兩兩順次相交的交點構成的圖形.,頂點：n個；邊：n條.,邊：n條；頂點：n個.,下面分別考察n=3和n=4的情形,§ 3 對偶原理,,,簡單n點(線)形：n=3,,簡單三點形,簡單三線形,簡單n點(線)形：n=4,,簡單四點形,簡單四線形,顯然，簡單n點(線)形與其

51、頂點(邊)的順序有關,§ 3 對偶原理,,,,(5) 完全n點形：n個點(其中無三點共線)及其每兩點連線構成的圖形.,(5)' 完全n線形：n條直線(其中無三線共點)及其每兩直線交點構成的圖形.,頂點：n個；,邊：n條；,完全n點(線)形：n=3,,完全三點形ABC,完全三線形abc,一對自對偶圖形. 將不加區(qū)分, 簡稱三點形或三線形.,§ 3 對偶原理,,,完全n點(線)形：n=4,,完全四點形ABC

52、D,完全四線形abcd,射影幾何中最重要的一對圖形,§ 3 對偶原理,完全四點形ABCD,完全四線形abcd,,頂點,4個,邊,6條,對邊(沒有公共頂點的邊),3組,對邊點(對邊的交點),3個,對邊三點形 XYZ,邊,4條,頂點,6個,對頂(不在同一邊上的頂點),3組,對頂線(對頂?shù)倪B線),3條,對頂三線形 xyz,請課后畫圖，熟悉圖形及名稱. 今后將專門研究其重要性質(zhì),例 1,作下列圖形的對偶圖形,,點,2個,直線,5條

53、,關聯(lián)關系,(1) P,Q在l上；,(2) a,b,l共點于P; c,d,l共點于Q,直線,2條,點,5個,關聯(lián)關系,(1) ' p,q過點L；,(2) ' A,B,L共線于p; C,D,L共線于q,,,一、平面對偶原則,2、對偶圖形舉例,1、基本概念,3、作一圖形的對偶圖形,翻譯,§ 3 對偶原理,,,一、平面對偶原則,2. 基本對偶圖形舉例,1. 基本概念,3. 作一圖形的對偶圖形,4. 平面對偶原則

54、,(1) 射影命題,在射影平面上，若命題P僅與點和直線的關聯(lián)、順序關系有關，則稱P為一個射影命題.,(2) 對偶命題,射影命題P,射影命題P*,作對偶變換,,,互為對偶命題,(3) 平面對偶原則,定理,(平面對偶原則)在射影平面上，,射影命題P成立,,射影命題P*成立,§ 3 對偶原理,,,一、平面對偶原則,2. 基本對偶圖形舉例,1. 基本概念,3. 作一圖形的對偶圖形,4. 平面對偶原則,例 2,對偶命題舉例,,(1)

55、 P 過相異二點有且僅有一條直線.,(1)' P* 兩相異直線有且僅有一個交點.,(2) P 如果兩個三點形的對應頂點連線共點，則其對應邊的交點必定共線.,(2)' P* 如果兩個三點形的對應邊交點共線，則其對應頂點的連線必定共點.,注1,只有射影命題才有對偶命題.,注2,對偶原則是一個雙射,F：,點幾何,線幾何,,因此, 對偶原則可以使得點幾何問題與線幾何問題相互轉化, 可以起到事半功倍的作用.,§ 3 對偶

56、原理,,,二、有關齊次坐標的基本結論,,(1). 兩點a, b重合?,(1)'. 兩直線a, b重合?,§3 對偶原理,(2). 相異兩點a, b連線方程為,(2)'. 相異兩直線a, b交點方程為,坐標為,,坐標為,,,,(3). 相異三點a,b,c共線?,(3)'. 相異三直線a,b,c共點?,(4). 點c在相異兩點a,b連線上?點c的齊次坐標可表示為la+mb(l,m不全為零).,§

57、 3 對偶原理,,(4)'. 直線c經(jīng)過相異兩直線a,b交點?直線c的齊次坐標可表示為la+mb(l,m不全為零).,二、有關齊次坐標的基本結論,注：若三點(直線)a, b, c不共線(點), 則上述矩陣滿秩.,,,,(5). 相異三點a,b,c共線?存在p,q,r(pqr≠0)使得,即可適當選取a,b,c的齊次坐標使得,§ 3 對偶原理,二、有關齊次坐標的基本結論,(5)'. 相異三直線a,b,c共點?存在

58、p,q,r(pqr≠0)使得,即可適當選取a,b,c的齊次坐標使得,a+b+c=0, 或 c=a+b.,a+b+c=0, 或 c=a+b.,,,例 3,已知共線三點 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求?, 使得,解,令,其中ρ為非零比例常數(shù).,可解得?=3.于是，可適當選取 a, b, c 的齊次坐標，使得 c=a+3b.,§ 3 對偶原理,二、有關齊次坐標的基本結論,,§ 2.4

59、 復元素,,,一、二維空間的復元素,實歐氏平面,,實仿射平面,實射影平面,復射影平面,本課程不討論復射影平面. 我們將實射影平面嵌入到復射影平面中進行討論，即討論帶有虛元素的實射影平面－－實-復射影平面,,,§ 2.4 復元素,,,一、二維空間的復元素,復點：設有一對有序復數(shù),如果,都是實數(shù)，則,為一普通點即實點，若,或,為復數(shù)或均為復數(shù)，則規(guī)定一個新點稱為復點，仍以,為其坐標。,復點的齊次坐標：,實點,規(guī)定為復點的齊次坐標

60、。,與三個不全為零的實數(shù)成比例,,§ 2.4 復元素,,,一、二維空間的復元素,同樣的，對于,，當,表示普通點；,表示無窮遠復點.,復直線的引入與此類似：,齊次復數(shù)線坐標,,,實直線,復直線,與復點坐標的引入相似,定義,§ 2.4 復元素,,,二、幾點說明,比如，(i, i, i)為實點.,3、顯然，實直線上可以有虛點，虛直線上可以有實點；過實點可以有虛直線，過虛點可以有實直線.,復點、復直線統(tǒng)稱復元素.,

61、67;2. 4復元素,,,三、共軛復元素,定義1：若,為一元素（點或直線）的齊次坐標時，,為另一同類元素（點或直線）的齊次坐標，,則此二元素叫做共軛復元素。,兩個元素可能在相差一個非零比例常數(shù)的前提下共軛。,注意：兩個非無窮遠共軛復元素，非齊次坐標必為共軛復數(shù)；但齊次坐標不一定為共軛復數(shù)。,§ 2.4 復元素,,,四、幾個結論,,,(3)、實直線上的點或為實點或為成對出現(xiàn)的共軛虛點.,(3')、過實點的直線或為實直線

62、或為成對出現(xiàn)的共軛虛直線.,(4)、兩共軛復點連線為實直線.,(4')、兩共軛復直線交點為實點.,(5)、過一復點有且僅有一條實直線.,(5')、在一條復直線上有且僅有一個實點.,§ 2.4 復元素,,五、例題：,求：(1)過點,的實直線；,(2)直線,上的實點.,解：(1)因為過點,的實直線必過其共軛復點,所以所求直線為：,即：,,§ 2.4 復元素,(2)直線,上的實點為此直線與其共軛復直線,的交

63、點，由方程：,解得實點為：,第三章 射影變換,,,本章地位,,平面射影幾何的核心內(nèi)容之一,本章內(nèi)容,,在一維、二維射影空間以及齊次坐標的基礎上，系統(tǒng)學習一維、二維射影變換及其一些特殊情形，對一些射影不變量和不變性作初步地研究。,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,交比 — 最根本的射影不變量,定義3.1. 設P1,P2,P3,P4為共線四點，(P1P2,P3P4)表示這四點,(3.1),稱P1,P

64、2為基點偶， P3,P4為分點偶.,構成的一個交比（或交叉比，復比）. 定義為：,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,注：(1)若點偶,不分離點偶,記作,,¨,(2)若點偶,分離點偶,記作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3)當,重合時，,當,重合時，,一、點列中四點的交比,1.定義,§ 3.1 交比與調(diào)和比,顯然，共線四點的交比值與這四點在交比記號中的次序有關. 改變次序一般會改變交比值

65、.,因此，根據(jù)次序不同，共線四點可以構成,設(P1P2,P3P4 )=r. 我們來探討這24個交比的規(guī)律.,,,2.交比的組合性質(zhì),性質(zhì)1 設(P1P2,P3P4 )=r. 當改變這四點在交比符號中的次序,時，交比值變化規(guī)律如下：,,,4!=24,個交比.,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,推論 由性質(zhì)1，相異的共線四點構成的24個交比只有6個不同的值：,不必背誦，但是要熟練掌握變化規(guī)律！,,,

66、7; 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),3、特殊情況,性質(zhì)1中共線四點的交比值出現(xiàn)0, 1, ∞三者之一?這四點中有,某二點相同.,性質(zhì)2 一直線上的無窮遠點分其上任何兩點的單比等于1.,§ 3.1 交比與調(diào)和比,定理2. 設點列l(wèi)(P)中四點Pi的齊次坐標為a+λib(i=1,2,3,4). 則,3、特殊情況,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),4、交比的代數(shù)表示,定理1.

67、設P1,P2,P3,P4共線四點，其齊次坐標依次為a，b，,a+λ1b，a+ λ2b. 則：,引理：已知兩不同的普通點,，,為直,線AB上一點，且 ,則,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,證明定理2. 以P1,P2,為基點，參數(shù)表示P3,P4. 設,a+λ1b=a', a+λ2b=b'.,從中解出a,b, 得,于是， P1,P2,P3,P4的坐標可表示為,即,由定理1

68、，有,注：定理1可以作為交比的一般定義.,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,定理3 若四個不同的共線點中的三點及其交比值為已知，,則第四點必惟一確定。,在共線四點的交比中，交比值為-1的情況在,射影幾何中十分重要，稱之為調(diào)和比。,3、特殊情況,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),4、交比的代數(shù)表示,5、調(diào)和比,定義 若(P1P2,P3P4 )= –1, 則稱,推論1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 則此四點互異.

69、,推論2 相異四點P1,P2,P3,P4可按某次序構成調(diào)和比?這四點,的6個交比值只有3個：,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,調(diào)和比是最重要的交比！,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),3、特殊情況,4、調(diào)和比,對于(P1P2,P3P4 )= –1, 由定義可得：,此時, 若,則可合理地認為,于是,這表示P3為P1P2的中點，從而有,推論3 設P1,P2, P為共線的通常點. P

70、∞為此直線上的無窮遠點.則P為P1P2的中點,注：本推論建立了線段的中點、調(diào)和比的聯(lián)系,,,一、點列中四點的交比,§ 3.1 交比,例1. 設1,2,3,4,5,6是6個不同的共線點. 證明：若(12,34)=(14,32), 則(13,24)=-1.,,由題設,,已知四點相異,,,,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),3、特殊情況,4、調(diào)和比,5、交比的計算,(1). 由坐標