分析力學基礎(chǔ)

1、分析力學基礎(chǔ),分析力學,拉格朗日方程,運用矢量力學分析復雜約束動力系統(tǒng)，未知約束力多，方程數(shù)目多，求解煩瑣；將達朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立動力虛功方程，廣義坐標化，能量化，化為拉格朗日方程，可以實現(xiàn)用最少數(shù)目方程，描述動力系統(tǒng),牛頓第二定律,,動量、動量矩動能定理,矢量力學,達朗貝爾原理虛位移原理,,拉格朗日方程,分析力學,分析力學,拉格朗日方程,§15-1 自由度和廣義坐標,自由度,確定系統(tǒng)位置的獨立參數(shù)數(shù)目,設(shè)

2、n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，若受s個完整約束作用，則質(zhì)點系在空間的位置可以由N=3n-s個獨立參數(shù)完全確定,廣義坐標,完全確定系統(tǒng)位置的最少參數(shù) （ 可以是長度，角度，面積等）,對于完整系統(tǒng)，廣義坐標數(shù)等于系統(tǒng)自由度數(shù),分析力學,拉格朗日方程,將各質(zhì)點的坐標表示為：,由虛位移定義，將上式進行等時變分運算：,——廣義坐標的變分，稱為廣義虛位移,假設(shè)系統(tǒng)受s個完整約束，約束方程：,設(shè)系統(tǒng)的一組廣義坐標為,分析力學,拉格朗日方程,自由度為

3、：N=4-2=2,雙擺系統(tǒng),廣義坐標：,約束方程個數(shù)為s=2,將B的坐標用廣義坐標表示：,分析力學,拉格朗日方程,§15-2 廣義力與平衡條件,將廣義坐標表示的虛位移,代入虛功方程：,,分析力學,拉格朗日方程,令,則方程化簡為：,——與廣義坐標 相對應(yīng)的廣義力,由廣義坐標的獨立性， 可以任意取值，則必有：,質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都為零,廣義力求法：1、直接法；2、虛功法,分析力學,拉格朗日方程,例

4、題15-1,已知桿長OA=a，AB=b，不計桿重和摩擦，求平衡時 與 之間的關(guān)系,分析力學,拉格朗日方程,§15-3 動力學普遍方程,n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，根據(jù)達朗貝爾原理，第i 個質(zhì)點滿足條件：,1、達朗貝爾原理,其中 為第i個質(zhì)點的慣性力,2、虛位移原理,對于整個質(zhì)點系，由虛位移原理可得,分析力學,拉格朗日方程,理想約束有：,,解析

5、形式,動力學普遍方程,理想約束下，質(zhì)點系在任一瞬時所受主動力系和虛加的慣性力系在虛位移上所作的功之和為零,分析力學,拉格朗日方程,例題15-2,已知兩輪的半徑為r，轉(zhuǎn)動慣量為J，重量均為P1，沿斜面作純滾動，桿的重量為P2，求系統(tǒng)的加速度a,分析力學,拉格朗日方程,例題15-3,均質(zhì)圓柱與薄壁圓柱1、2用繩相連，圓柱1作純滾動，繩與滑輪A的重量不計。已知 ，試求運動過程中輪心C與輪心O的加速度大小,分析力學

6、,拉格朗日方程,§15-4 拉格朗日方程,代入動力學普遍方程：,將廣義坐標表示的虛位移,,廣義力表示的虛功,由 的任意性,分析力學,拉格朗日方程,——與廣義力Qk 對應(yīng)的廣義慣性力,,理想約束下，質(zhì)點系所有的廣義力與其對應(yīng)的廣義慣性力之和為零,1、拉氏方程的化簡——兩個經(jīng)典微分關(guān)系,n個質(zhì)點，s個完整約束，自由度 N＝3n－s，,分析力學,拉格朗日方程,（1）同時求導關(guān)系,證明：,兩邊對時間t求導,,兩邊對

7、 求偏導：,說明可以對該式的分子分母同時對t求導而不影響計算結(jié)果,分析力學,拉格朗日方程,（2）交換求導關(guān)系,證明：,兩邊對時間t求導,若 的一階和二階偏導數(shù)連續(xù)，則上式成立,說明可以對該式交換求導次序而不影響計算結(jié)果,分析力學,拉格朗日方程,,2、廣義慣性力的化簡,分析力學,拉格朗日方程,,拉格朗日方程,該方程組為二階常微分方程組，其中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度數(shù),若質(zhì)點系的主動力都是有勢力，則勢能為：,3、有勢力作用

8、下的拉格朗日方程,分析力學,拉格朗日方程,有勢力做所的元功為勢能之差：,有勢力Fi在直角坐標系的投影為Fix、Fiy、Fiz,,代入到廣義力公式,分析力學,拉格朗日方程,于是拉格朗日方程化為：,令 L=T-V ，稱為拉格朗日函數(shù)（或動勢）,由于勢能V 只是廣義坐標 的函數(shù)，不含廣義速度 ，則方程化簡為：,分析力學,拉格朗日方程,例題15-4,圖示系統(tǒng)中，A作純滾動，輪心用水平彈簧連在墻上，物塊C質(zhì)量為m1，A、B輪質(zhì)量