量子力學(xué)基礎(chǔ) 1

1、第五講、量子力學(xué)基礎(chǔ),經(jīng)典物理的困惑能量的量子化波粒二象性物質(zhì)波測(cè)不準(zhǔn)原理薛定諤方程,黑體輻射,光電效應(yīng),氫原子光譜,康普頓效應(yīng),1899年開爾文在歐洲科學(xué)家新年聚會(huì)的賀詞中說：物理學(xué)晴朗的天空上， 飄著幾朵令人不安的烏云,經(jīng)典物理的困惑,物體的運(yùn)動(dòng) --- 牛頓力學(xué)光、電磁波 --- Maxwell方程熱現(xiàn)象 --- 熱力學(xué)及統(tǒng)計(jì)物理,（一）、黑體輻射,熱輻射：由熱運(yùn)動(dòng)引起的輻射現(xiàn)象。如：太陽發(fā)光，火爐。黑 體：

2、對(duì)入射的電磁波能全部吸收，且不反射和折射電磁波的物體。,■ 輻出度 M(T )：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，從物體表面單位面積上發(fā)出的所有波長(zhǎng)的電磁波的總能量,吸收比：,維恩公式： (1893),2 瑞利—金斯公式： (1900-1905),經(jīng)典理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的矛盾：,1、維恩公式在短波段與實(shí)驗(yàn)相符，但在長(zhǎng)波段與 實(shí)驗(yàn)不符合；,2、瑞利-金斯公式則在長(zhǎng)波段與實(shí)驗(yàn)相符，而在短 波段與實(shí)驗(yàn)有明顯的差別。特別是在波長(zhǎng)趨于零

3、 時(shí)，輻出度趨于無窮大，歷史上稱為“紫外災(zāi)難”。,3、普朗克能量子假說,普朗克提出能量子假說，推出普朗克公式，全波段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果驚人符合。,(1)黑體是由帶電諧振子組成，這些諧振子輻射電磁波，并和周圍的電磁場(chǎng)交換能量。,(2) 這些諧振子能量不能連續(xù)變化，只能取一些分立值，是最小能量? 的整數(shù)倍,這個(gè)最小能量稱為能量子。,h—普朗克常數(shù),普朗克公式：,維恩公式：,2 瑞利—金斯公式：,M.V.普朗克 研究輻射的量子理論，

4、發(fā)現(xiàn)基本量子，提出能量量子化的假設(shè),1918諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),（二）、光電效應(yīng),1.定義：當(dāng)光照射到金屬表面時(shí)，金屬中有電子逸出的現(xiàn)象叫光電效應(yīng)，所逸出的電子叫光電子，由光電子形成的電流叫光電流，使電子逸出某種金屬表面所需的功稱為該種金屬的逸出功。,2.實(shí)驗(yàn)裝置K——金屬電極（陰極）A——陽極光電子由K飛向A，在回路中形成光電流。,1.實(shí)驗(yàn)規(guī)律與電磁波理論的矛盾。,(1)經(jīng)典認(rèn)為光強(qiáng)越大，飽和電流應(yīng)該大，光電子的初動(dòng)能也該大。但實(shí)驗(yàn)

5、上飽和電流不僅與光強(qiáng)有關(guān)而且與頻率有關(guān)，光電子初動(dòng)能也與頻率有關(guān)。,(2)只要頻率高于紅限，既使光強(qiáng)很弱也有光電流；頻率低于紅限時(shí)，無論光強(qiáng)再大也沒有光電流。而經(jīng)典認(rèn)為有無光電效應(yīng)不應(yīng)與頻率有關(guān)。 　　(3)瞬時(shí)性（無論光強(qiáng)如何微弱，從光照射到光電子出現(xiàn)只需要10-9s的時(shí)間）。經(jīng)典認(rèn)為光能量分布在波面上，吸收能量要時(shí)間，即需能量的積累過程。,2.愛因斯坦光子假設(shè)解釋實(shí)驗(yàn)規(guī)律：,(1)假設(shè)：1905年，愛因斯坦對(duì)光的本性提出了新的理論

6、，認(rèn)為光束可以看成是由微粒構(gòu)成的粒子流，這些粒子流叫做光量子，簡(jiǎn)稱光子。在真空中，光子以光速c運(yùn)動(dòng)。一個(gè)頻率為ν的光子具有能量ε=hn。,(2)光電效應(yīng)的愛因斯坦方程,(2) 紅限頻率的存在：　　當(dāng)入射光頻率低于紅限頻率n0，hnA/h），以致每個(gè)光子的能量足夠大，電子才能克服逸出功而逸出金屬表面。所以紅限頻率n =A/h；,3、光電效應(yīng)解釋,(1)飽和光電流強(qiáng)度與光強(qiáng)成正比：　　對(duì)于給定頻率的光束來說，光的強(qiáng)度越大，表示光子的數(shù)目

7、越多，光電子越多，光電流越大。,(4)光電效應(yīng)的瞬時(shí)性：　　當(dāng)電子一次性地吸收了一個(gè)光子后，便獲得了 hn 的能量而立刻從金屬表面逸出，沒有明顯的時(shí)間滯后。,(3) 截止電壓與頻率成線性關(guān)系,光的波動(dòng)性（?）和粒子性（p）是通過普朗克常數(shù)（h）聯(lián)系在一起的。,相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系：,光子的質(zhì)量：,因?yàn)椋?光子的動(dòng)量：,光既具有粒子性，又具有波動(dòng)性，即具有波粒二象性,（4）光的波粒二象性,A.愛因斯坦 闡明光電效應(yīng)、對(duì)現(xiàn)代物理方面的貢獻(xiàn)巨大

8、 波粒二象性、相對(duì)論,1921諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),（三）、氫原子光譜,氫氣放電管獲得氫光譜在可見光范圍內(nèi)有四條,Hα：紅色 656.210nmHβ：深綠 486.074nmHγ：青色 434.010nmHδ：紫色 410.120nm,瑞典的埃格斯特朗在1853年首先觀測(cè)到的，波長(zhǎng)的單位就是以他的名字命名的。,1885年，瑞士數(shù)學(xué)家巴耳末把氫原子的前四條譜線歸納巴耳末公式,巴耳末系波長(zhǎng)極限值,1890年，里德伯采用波

9、數(shù),里德伯常量,氫原子光譜規(guī)律：,賴曼系(1916)紫外部分,帕邢系(1908)可見光,布喇開系(1922)近紅外部分,普豐德系(1924)紅外部分,漢弗萊系(1953)遠(yuǎn)紅外部分,廣義巴耳末公式,定態(tài)假說：電子在原子中，可以在一些特定的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，而不輻射電磁波，這時(shí)原子處于穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)）并具有一定的能量。,其中n=1,2,3,...稱為主量子數(shù),量子化條件：電子以速度v在半徑為r的圓周上繞核運(yùn)動(dòng)時(shí)，只的電子角動(dòng)量L等于h/(2p

10、 )的整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的,躍遷假設(shè)：當(dāng)原子從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài)，即電子從高能量Ei的軌道躍遷到低能量Ef的軌道上時(shí)，要發(fā)射能量為hn 的光子：,玻爾的基本假設(shè)：,氫原子光譜：,氫原子發(fā)光機(jī)制是能級(jí)間的躍遷,R實(shí)驗(yàn)=1.096776×107m-1,廣義巴耳末公式：,n=1,2,3…,n=1,2,3…,,N.玻爾研究原子結(jié)構(gòu)，特別是研究從原子發(fā)出的輻射,1922諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),(四)、康普頓效應(yīng)(Compto

11、n effect),1922年間康普頓觀察X射線通過物質(zhì)散射時(shí)，發(fā)現(xiàn)散射的波長(zhǎng)發(fā)生變化的現(xiàn)象。,實(shí)驗(yàn)裝置,1.散射光除原波長(zhǎng)?0外，還出現(xiàn)了波長(zhǎng)大于?0的新的散射波長(zhǎng)? 。,與散射角?有關(guān)，與物質(zhì)無關(guān)。,3.不同散射物質(zhì)，在同一散射角下波長(zhǎng)的改變相同。,4. 波長(zhǎng)為?的散射光強(qiáng)度隨散射物質(zhì)原子序數(shù)的增加而減小。,電磁波理論與實(shí)驗(yàn)規(guī)律的矛盾：帶電粒子在光的照射下，做受迫振動(dòng)，故 應(yīng)相同。,光子理論對(duì)康普頓效應(yīng)的解釋,高能光子和低

12、能自由電子作彈性碰撞的結(jié)果。,1、若光子和外層電子相碰撞，光子有一部分能量傳給電子, 光子的能量減少，因此波長(zhǎng)變長(zhǎng)，頻率變低。,2、若光子和內(nèi)層電子相碰撞時(shí)，碰撞前后光子能量幾乎不變，故波長(zhǎng)有不變的成分。,3、因?yàn)榕鲎仓薪粨Q的能量和碰撞的角度有關(guān)，所以波長(zhǎng)改變和散射角有關(guān)。,康普頓效應(yīng)的定量分析,,（1）碰撞前,（2）碰撞后,（3）動(dòng)量守恒,碰撞前，電子平均動(dòng)能（約百分之幾eV），與入射的X射線光子的能量（104~105eV）相比可忽略

13、，電子可看作靜止的。,由能量守恒:,由動(dòng)量守恒:,康普頓散射公式,1927諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),A.H.康普頓 發(fā)現(xiàn)了X射線通過物質(zhì)散射時(shí)，波長(zhǎng)發(fā)生變化的現(xiàn)象,（五）粒子的波動(dòng)性,一、德布羅意波,1924年德布羅意提出了物質(zhì)波的概念： 任何運(yùn)動(dòng)的粒子皆伴隨著一個(gè)波，粒子的運(yùn)動(dòng)和波的傳播不能相互分離。,運(yùn)動(dòng)的實(shí)物粒子的能量E、動(dòng)量p與它相關(guān)聯(lián)的波的頻率? 和波長(zhǎng)?之間滿足如下關(guān)系：,德布羅意關(guān)系式,表示自由粒子的平面波稱為德布羅

14、意波(或物質(zhì)波),自由粒子速度較小時(shí),電子的德布羅意波長(zhǎng)為,例如：電子經(jīng)加速電勢(shì)差 V加速后,物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,1927年戴維孫和革末用加速后的電子投射到晶體上進(jìn)行電子衍射實(shí)驗(yàn)。,L.V.德布羅意 電子波動(dòng)性的理論研究,1929諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),C.J.戴維孫 通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)晶體對(duì)電子的衍射作用,1937諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),二、德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋,1926年，德國物理學(xué)玻恩 (Born , 1882--1972) 提出了概率波，認(rèn)為個(gè)別微

15、觀粒子在何處出現(xiàn)有一定的偶然性，但是大量粒子在空間何處出現(xiàn)的空間分布卻服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,M.玻恩 對(duì)量子力學(xué)的基礎(chǔ)研究，特別是量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,1954諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),微觀粒子的空間位置要由概率波來描述，概率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的概率。任意時(shí)刻不具有確定的位置和確定的動(dòng)量。,X方向電子的位置不準(zhǔn)確量為：,（六） 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定關(guān)系,第一極暗紋的衍射角,大于號(hào)是考慮還有一些電子落在中央明紋以外區(qū)域。,上

16、式表明粒子， 與 成反比。a小， 小， 大。,經(jīng)嚴(yán)格證明可以得到：,這就是著名的海森伯測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式,解：根據(jù)不確定關(guān)系可得電子位置的不確定量為：,例：由玻爾理論算得氫原子中電子的運(yùn)動(dòng)速率為 若其不確定量為1.0%，求電子位置變化的范圍。,此值已超出原子的線度（10-10m）.所以就原子中的電子而言，要它有確定的位置同時(shí)又有確定的速率，是沒有意

17、義的。顯然，由于微觀粒子的波動(dòng)性，核外電子軌道的概念是沒有意義的。,所以，對(duì)于宏觀物體的坐標(biāo)及動(dòng)量可以同時(shí)確定,測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式的理解,1. 用經(jīng)典物理學(xué)量——?jiǎng)恿?、坐?biāo)來描寫微觀粒子行為時(shí)將會(huì)受到一定的限制 。,3. 對(duì)于微觀粒子的能量 E 及它在能態(tài)上停留的平均時(shí)間Δt 之間也有下面的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：,2. 可以用來判別對(duì)于實(shí)物粒子其行為究竟應(yīng)該用經(jīng)典力學(xué)來描寫還是用量子力學(xué)來描寫。,W.海森堡 創(chuàng)立量子力學(xué)，并導(dǎo)致氫的同素異形的發(fā)現(xiàn)

18、,1932諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),（七）、薛定諤方程,經(jīng)典的物理定律不能描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),1926年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎(chǔ)上，提出了薛定諤方程做為量子力學(xué)的又一個(gè)基本假設(shè)來描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,當(dāng)微觀粒子在某一時(shí)刻的狀態(tài)為已知時(shí)，以后時(shí)刻粒子所處的狀態(tài)也要薛定諤方程來決定。,海森堡創(chuàng)立的矩陣力學(xué)和薛定諤創(chuàng)立的波動(dòng)力學(xué)，兩者是等價(jià)的，統(tǒng)稱為量子力學(xué)。,根據(jù)平面波：,式中： 微觀粒子（如電子）的動(dòng)量為P 、質(zhì)量為m、能量

19、為E,可以寫出微觀粒子的波動(dòng)方程：,與粒子(某時(shí)刻、在空間某處)出現(xiàn)的幾率成正比。,一、幾率波,?*是?的共軛,波函數(shù)的性質(zhì)：,1）波函數(shù)具有歸一化,粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的幾率：,定義粒子在空間某處（dv）出現(xiàn)的幾率：,波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應(yīng)滿足三個(gè)條件：,2）單值性：,3）連續(xù)性,4）有限性,波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件,波函數(shù)?本身并無物理意義，而波函數(shù)的模的平方（波的強(qiáng)度）代表時(shí)刻t、在空間 r點(diǎn)處，微觀粒子出現(xiàn)的幾率。,5）狀態(tài)

20、疊加原理：,??(x,t)? 2 = ?(x,t)*?(x,t),?(x,t)……稱為“幾率振幅” 或“狀態(tài)”,??(x,t)? 2……稱為“幾率密度”或“幾率”,若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)，??1, ?2···?， 則它們的線性組合：?=C1?1,+C2?2+··· 也是該體系的一個(gè)可能的狀態(tài)，稱為量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理。其中C1, C2 ··

21、83;為任意復(fù)常數(shù)。,經(jīng)典物理中的線性疊加是實(shí)在物理量的疊加，量子力學(xué)中，粒子處于態(tài)?1和態(tài)?2的線性疊加?時(shí)，粒子即可以處在態(tài)?1，又可處在態(tài)?2，測(cè)量時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，粒子分別以一定的幾率處在態(tài)?1和態(tài)?2。,二、薛定諤方程,所要建立的是描寫波函數(shù)隨時(shí)間變化的方程，它必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有對(duì)時(shí)間微商的微分方程。,這個(gè)方程還應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件：（1）方程是線性的，這是由態(tài)迭加原理決定的；（2）這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)包含狀態(tài)的參量，如動(dòng)量、能量

22、等。 否則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，不能被各種可能的狀態(tài)所滿足。,1.自由粒子的薛定諤方程,動(dòng)量為P 、質(zhì)量為m、能量為E的自由粒子， 沿 x 軸運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為：,對(duì)時(shí)間求微商，得到：,①,對(duì) x 求二階偏導(dǎo),②,當(dāng)粒子速度遠(yuǎn)小于光速c時(shí)（v<<c）自由粒子的動(dòng)量和能量滿足以下關(guān)系：,③,比較以上三式，可得：,④,這就是一維空間運(yùn)動(dòng)的自由粒子的薛定諤方程。,此時(shí)的薛定諤方程為：,若粒子不是自由的，而是在

23、某力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能函數(shù)為EP＝Ｕ(x,t)，則粒子的總能量應(yīng)為：,④,⑤,2.薛定諤方程的一般形式,為書寫方便，我們引入拉普拉斯算符：,若粒子不是在一維空間而是在三維空間的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則其薛定諤方程為：,則上式可寫為：,⑥,⑦,寫成式子：,由上式可知，粒子能量E和動(dòng)量P與下列作用在波函數(shù)上的算符相當(dāng)：,引入哈密頓算符：,則⑦式可寫為：,這就是薛定諤方程的一般形式。,如果粒子的勢(shì)能并不隨時(shí)間而變化，即U=U(x,y,z)，它不包含時(shí)間（

24、在經(jīng)典力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情況）。在這種情況下，可以用分離變量法把波函數(shù)寫成空間坐標(biāo)函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積，即：,3.定態(tài)薛定諤方程,定態(tài)：勢(shì)函數(shù)不顯含時(shí)間，其幾率分布也不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。,或者可寫為：,代入,很明顯，上式右邊只是 矢徑 的函數(shù)，而左邊只是時(shí)間t的函數(shù)，為了使上式成立，必須兩邊恒等于某一個(gè)常數(shù)，設(shè)以E表示，則有：,兩邊除以 可得：,方程（1）的解為：,（1）,（2

25、）,（c為任一常數(shù)）,將 代入,并把常數(shù)包含在 中，這樣就得到薛定諤方程的特解為：,--- 定態(tài)波函數(shù),定態(tài)薛定諤方程的每一個(gè)解表示粒子的一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，并且由其解所得出的粒子在空間的幾率密度與時(shí)間無關(guān)：,方程 稱為定態(tài)薛定諤方

26、程。,波函數(shù)的性質(zhì),幾率密度,可以看出，常數(shù)E其實(shí)就是微觀粒子的總能量，因此定態(tài)也就是微觀粒子能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù) 和在這些態(tài)中的能量E。,由于定態(tài)波函數(shù) 和函數(shù) 以公式 ： 聯(lián)系起來，所以問題就歸結(jié)于解定態(tài)薛定諤方程求出能量E的可能值和波函數(shù)