量子力學(xué)試卷

1、05級2學(xué)分學(xué)分A一、回答下列問題（每題一、回答下列問題（每題5分，共分，共30分）分）1十九世紀(jì)末期人們發(fā)現(xiàn)了哪些不能被經(jīng)典物理學(xué)所解釋的新的物理現(xiàn)象？2什么是束縛態(tài)？什么是定態(tài)？3試述電子具有自旋的實驗證據(jù)。4寫出量子力學(xué)五個基本假設(shè)中的任意三個。5表示力學(xué)量的厄米算符有哪些特性？6一維空間兩粒子體系的歸一化波函數(shù)為，寫出下列概率：)(21xx?發(fā)現(xiàn)粒子1的位置介于和之間（不對粒子2進(jìn)行觀測）xdxx?二、本題滿分二、本題滿分10分

2、設(shè)單粒子定態(tài)波函數(shù)為，試?yán)醚Χㄖ@方程確定其勢場。)(1)(ikrikrkbeerr????三、本題滿分三、本題滿分12分利用厄米多項式的遞推關(guān)系和求導(dǎo)公式：，??????02211?????xnHxxHxHnnn????xnHxHnn12???證明：一維諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系：)](21)(2[1)(11xnxnxxnnn??????????)](21)(2[)(11??????mxnxndxxdnnn??????已知一維諧振子的波

3、函數(shù)為：????21212!222???????????nNxHeNxnnnxnn?????四、本題滿分四、本題滿分12分一粒子在一維無限深勢阱中運動，求粒子的能級和相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。????????????axaxxxU000)（五、本題滿分五、本題滿分12分已知氫原子的電子波函數(shù)為。)()()(41)(211131zznlmmsYrRsrs???????)()()(43212032zsYrR?????求在態(tài)中測量氫原子能量、、、、

4、的可能值和這些力學(xué)量的平均值。?E2LzL2szs六、本題滿分六、本題滿分14分一維運動的粒子處于狀態(tài)之中其中A為待求的歸一化常數(shù)求：?????????000)(xxAxexx??0??(1)歸一化常數(shù)(2)粒子坐標(biāo)的平均值和粒子坐標(biāo)平方的平均值(3)粒子動量的平均值和粒子動量平方的平均值。七、本題滿分七、本題滿分10分附：氫原子能量本征值：222024132neEn??????定積分：，n為正整數(shù)0!10?????????nxnndx

5、ex8費米子和玻色子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)分別具有費米子和玻色子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)分別具有_________性和性和_______性。性。9不考慮電子的自旋時，氫原子能級不考慮電子的自旋時，氫原子能級的簡并度為的簡并度為。nE10電子具有自旋的實驗證據(jù)包括電子具有自旋的實驗證據(jù)包括。11坐標(biāo)和動量的對易關(guān)系為坐標(biāo)和動量的對易關(guān)系為______。???xp?x?12測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系_______。????2x2)p()

6、x(13一維空間兩粒子體系的歸一化波函數(shù)為一維空間兩粒子體系的歸一化波函數(shù)為，x1和x2分別表示兩粒子的空間位置，那么，發(fā)現(xiàn)粒子分別表示兩粒子的空間位置，那么，發(fā)現(xiàn)粒子1的位置的位置)xx(21?介于介于和之間（不對粒子之間（不對粒子2進(jìn)行觀測）的概率進(jìn)行觀測）的概率。xdxx?二本題滿分本題滿分7分已知角動量的對易關(guān)系為已知角動量的對易關(guān)系為。證明：若一個算符。證明：若一個算符與角動量算符與角動量算符的兩個分量的兩個分量zxyyxyx

7、J?iJ?J?J?J?]J?J?[????F?J??和對易，即滿足對易，即滿足和，則算符，則算符必與必與的第三個分量的第三個分量對易，滿足對易，滿足。xJ?yJ?0]J?F?[x?0]J?F?[y?F?J??zJ?0]J?F?[z?三本題滿分本題滿分8分厄密算符厄密算符的本征方程為的本征方程為，試根據(jù)厄密算符的定義式，試根據(jù)厄密算符的定義式，證明厄密算符，證明厄密算符的本的本F?????F??????????d)F?(dF?F?征值征值

8、是實數(shù)。是實數(shù)。?四本題滿分本題滿分9分設(shè)體系處于設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化）狀態(tài)（已歸一化），求：，求：202111YCYC???（1）的測量可能值及平均值；（的測量可能值及平均值；（2）的測量可能值及相應(yīng)的概率。的測量可能值及相應(yīng)的概率。zL2L五本題滿分本題滿分9分氫原子處在基態(tài)氫原子處在基態(tài)，求在此態(tài)中：，求在此態(tài)中：(1)r的平均值；的平均值；(2)勢能勢能的平均值；的平均值；0ar30ea1)r??????焦re2?(3)動量

9、的概率分布函數(shù)。動量的概率分布函數(shù)。已知定積分已知定積分。1n0axna!ndxex?????六本題滿分本題滿分6分一個轉(zhuǎn)動慣量為一個轉(zhuǎn)動慣量為I的剛性轉(zhuǎn)子繞空間某一固定點轉(zhuǎn)動，叫空間轉(zhuǎn)子，其能量的經(jīng)典表示式為的剛性轉(zhuǎn)子繞空間某一固定點轉(zhuǎn)動，叫空間轉(zhuǎn)子，其能量的經(jīng)典表示式為，L為角動量。為角動量。I2LH2?求與此對應(yīng)的量子體系的定態(tài)能量及波函數(shù)。已知角動量平方算符求與此對應(yīng)的量子體系的定態(tài)能量及波函數(shù)。已知角動量平方算符。]sin1)

10、(sinsin1[L?22222????????????????七本題滿分本題滿分8分在自旋態(tài)在自旋態(tài)中，求中，求和的不確定關(guān)系：的不確定關(guān)系：已知算符已知算符的不確定度為的不確定度為??????????01)sz21焦xS?yS?)S()S(2y2x????F?，平均值，平均值。222F?F?)F?(???????F?F?八本題滿分本題滿分8分算符方程算符方程稱為算符稱為算符的本征方程，其中常數(shù)的本征方程，其中常數(shù)稱為算符稱為算符的本

11、征值，函數(shù)的本征值，函數(shù)稱為算符稱為算符的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。???aA?A?aA??A?試確定下列函數(shù)哪些是算符試確定下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，若是本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值是什么？的本征函數(shù)，若是本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值是什么？22dxd①，②，③，④，⑤2xxexsinxcos3xcosxsin?06級2學(xué)分學(xué)分B一、回答下列問題（每小題一、回答下列問題（每小題4分，共分，共24分）分）1十九世紀(jì)末期人們發(fā)現(xiàn)了哪些不能被經(jīng)典物