非厄密量子力學(xué).pdf

1、上世紀(jì)二十年代，在總結(jié)大量實驗和舊量子論的基礎(chǔ)上，建立了反映微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的量子力學(xué)。人們開始深入地研究物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，從而物質(zhì)的物理和化學(xué)性能極其變化規(guī)律被進(jìn)一步地掌握。反映這些物質(zhì)特性的重要指標(biāo)是可觀測物理量，它們在量子力學(xué)中用算符來表示?？捎^測物理量與實際應(yīng)用相聯(lián)系，被當(dāng)做量子理論的基本要求和前提，而厄密算符能與所有這些量子理論基礎(chǔ)自洽，所以長期以來量子力學(xué)中用厄密算符表示可觀測物理量成為一種根深蒂固的觀念。但事實上可觀測物理量

2、只是算符具有厄密性的必要條件，很多非厄密算符也可以對應(yīng)正定的實數(shù)本征值。這些非厄密算符也對應(yīng)一套自洽的量子理論，這些理論大大地擴(kuò)展了厄密量子理論的應(yīng)用范圍。
　　 本論文主要研究非厄密量子力學(xué)中的PT對稱理論和贗厄密量子理論，歸納如下:
　　 通過對贗厄密量子理論的研究，我們在一個各向異性平面諧振子中加入一個正比于ip(1)p2的虛數(shù)作用項，從而構(gòu)建了一個兩維具有置換對稱性的PT贗厄密哈密頓量模型，并證明了此模型等價于P

3、ais-Uhlenbeck振子，從而在此PT對稱贗厄密系統(tǒng)與四階微分振子模型之間建立聯(lián)系。我們還發(fā)現(xiàn)了模型中存在的置換對稱性自發(fā)破缺機(jī)制，這種機(jī)制在給出模型的實數(shù)能譜中起著關(guān)鍵作用，并保證其能譜不會出現(xiàn)正負(fù)能級置換現(xiàn)象。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，我們模型中的二維置換對稱性對應(yīng)于Pais-Uhlenbeck振子中兩個不相等頻率的等價性（不是大小，而是屬性），并揭示了在Pais-Uhlenbeck振子中作為前提要求的非等頻條件可以合理地被解釋為這種等價性

4、的自發(fā)破缺。
　　 我們構(gòu)建了一種適用于贗厄密系統(tǒng)的代數(shù)方法，為此引入了算符η+，定義了新的刃矢量態(tài)和刁矢量態(tài)，并重新定義互為η+贗厄密共軛的產(chǎn)生算符和湮滅算符。作為應(yīng)用，構(gòu)建了一個宇稱(P)贗厄密哈密頓量，并進(jìn)行了詳細(xì)分析，而且使用這種代數(shù)方法得到了此哈密頓量系統(tǒng)的實數(shù)能譜。還通過特殊選擇的V算符確定了相應(yīng)的算符η+=PV。對于V算符的選擇來說，一方面要保證P贗厄密哈密頓量同時具有PV贗厄密自伴隨性質(zhì)，另一方面，PV還要確保系

5、統(tǒng)具有實數(shù)能譜和正定內(nèi)積。另外，當(dāng)此P贗厄密哈密頓量系統(tǒng)被拓展到空間坐標(biāo)算符和動量算符都不對易的正則非對易空間時，得出了一階非對易修正的能譜。尤其是發(fā)現(xiàn)，非對易性并沒有改變系統(tǒng)能譜的實數(shù)性和正定內(nèi)積。
　　 利用代數(shù)方法重新討論了兩個非厄密的PT對稱哈密頓量系統(tǒng)，這種代數(shù)方法源于求解贗厄密哈密頓量系統(tǒng)而非PT對稱系統(tǒng)。相比于將一個非厄密哈密頓量轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的厄密哈密頓的方法來說，代數(shù)方法的優(yōu)點是不改變PT對稱哈密頓量的Hilber

6、t空間。我們引入算符V來替代C，從而給出PT對稱系統(tǒng)的正定內(nèi)積。算符V與PT對稱量子力學(xué)中通常采用的C算符有相同的作用，但它可以直接利用哈密頓量來構(gòu)建，應(yīng)用更加方便。最后得到了兩個非厄密PT對稱系統(tǒng)的能譜，這些結(jié)果與原文章中的一致，并且，我們還求出了這兩個非厄密PT對稱系統(tǒng)的正定內(nèi)積。
　　 推導(dǎo)了在二維坐標(biāo)空間含有兩個獨立小量的非厄密微擾公式。運(yùn)算過程中，用到非厄密系統(tǒng)的正定內(nèi)積，而不是普通厄密量子力學(xué)中的正定內(nèi)積，比如η+贗

7、厄密內(nèi)積或PTV內(nèi)積。得到的本征態(tài)函數(shù)和能譜的微擾公式分別精確到兩個小量的一階和二階。我們通過在一維自由諧振子中加入一個正比于ixp的非厄密項，構(gòu)建了一個非厄密PT對稱哈密頓量，并得到了它的實數(shù)能譜和本征函數(shù)。進(jìn)而，此模型被推廣到動量和坐標(biāo)都不對易的非對易空間，然后利用推導(dǎo)的非厄密微擾公式得到了推廣后分別精確到兩個小量一階和二階的本征函數(shù)和能譜，而且驗證了推廣后的系統(tǒng)本征函數(shù)依然具有PTV正定內(nèi)積。從對易空間推廣到非對易空間，非厄密PT