概數(shù)論

1、,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,,目 錄,前一頁,后一頁,一 隨 機(jī) 試 驗(yàn)二 事件間的關(guān)系與運(yùn)算三 頻 率 與 概 率,§1 隨機(jī)事件及概率,簡稱試驗(yàn)，是指對(duì)事物的某一特征的觀察過程。特點(diǎn)： (1)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行 (2)每次試驗(yàn)結(jié)果有多種可能性，所有的可 能結(jié)果是事先知道的 。 （3）每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)其中的某一種結(jié)果，在

2、每次試驗(yàn)之前不能斷定究竟出現(xiàn)那種結(jié)果。,隨 機(jī) 試 驗(yàn)、隨機(jī)事件1）隨機(jī)試驗(yàn),E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（Head）、反面T （Tail）出現(xiàn)的情況。,E3：觀察某一時(shí)間段通過某一路口的車輛數(shù)。,E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,E4：觀察某一電子元件的壽命。,2) 樣本空間(Space),（1）樣本空間：試驗(yàn) E 的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，所有樣本點(diǎn)的集合稱為

3、E 的樣本空間， 記為 S。例（1） E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（Head）、反面T（Tail）出現(xiàn)的情況。則E1 的樣本空間 ： S1 ={ H , T } （2） E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。若 ei=“出現(xiàn)i點(diǎn)”，(i=1，2，3，4，5，6）表示。則E2 的 樣本空間 ： S2 ={e1, e2, e3, e4, e5, e6 },,退 出,

4、,,前一頁,后一頁,,目 錄,例 （3） E3：觀察某一時(shí)間段通過某一路口的車輛數(shù)。若用N表示車輛數(shù)。 則E3的 樣本空間 ： S3 = {N|N為非負(fù)整數(shù)}（4）E4：觀察某一電子元件的壽命。則E4的 樣本空間S4 = { t | t ? 0 },要求：會(huì)寫出隨機(jī)試驗(yàn)的 樣本空間。,(1)隨機(jī)事件 : 試驗(yàn)E的樣本空間S的子集，簡稱事件。可用 A, B, C 等字母表示。注:（i）我們

5、稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)它所包含的樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)。 (2)基本事件 :不能分解成其他事件組合的最簡單的事件。 例：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。若用ei (i=1，2，3，4，5，6）表示出現(xiàn)i點(diǎn)，用A表示出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B表示奇數(shù)點(diǎn)。則 A與B都不是基本事件，而{ei} 是基本事件。這是因?yàn)锳={e2 }U{e4} U{e6}， B={e1}U{e3} U{e5}。,2) 隨 機(jī) 事 件

6、,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,（3）必然事件 :在試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件，記為S 。（4）不可能事件 :在試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，記為?。例：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。若A=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7”，B =“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于7” ，則 A是必然事件，而B不可能事件。注:（ ii）樣本空間S是所有樣本點(diǎn)的集合，樣本空間可視為必然事件。 （iii)空集：不包含任何樣本點(diǎn)的集合，記為?。空集?可視為不可能事件。,注意到概率

7、論中的樣本點(diǎn)、樣本空間、空集的概念與集合論中的元素、全集、空集的概念是分別對(duì)應(yīng)的。 思考一下，這種對(duì)應(yīng)能帶來什么好處？,1) 包含關(guān)系,二 、 事件間的關(guān)系與運(yùn)算,如果事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A，或者說A是B的子事件。記為：,2）相等關(guān)系,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例：若A=“老張能活到85歲”，B=“老張能活到80歲”，則A B （填 ）,例：若A=“

8、不大于7的整數(shù)”，B=“小于或者等于7的整數(shù)”，則A=B。,,,S,,A,B,,3) 和（并）事件 ：“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”，稱為A與B的和事件，記為,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例：某產(chǎn)品分為一，二，三，四等品，其中一、二等品為合格品，三、四等品為不合格品。 若Ai=“i 等品” (i=1，2，3 ,4）; B=“合格品”，C=“不合格品”，則: B= A1+ A2 ，

9、C= A3+ A4,4) 積（交）事件: “事件A與B同時(shí)發(fā)生”，稱為A與B的乘積（交）事件，記為AB，或者 。,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例：某圓柱產(chǎn)品的直徑與長度同時(shí)合格才算是合格品。 若A=“直徑合格” ， B=“長度合格” C=“合格品” 。則:C=AB,注：,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,5) 差事件：“ A 發(fā)生同時(shí) B 不發(fā)生”，稱為A與B的差事件，記為 A-

10、B。,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,性質(zhì)：A-B=A-AB,互不相容（互斥）：若A和B不能夠同時(shí)發(fā)生， 即 ，則稱A和B互不相容。,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,注：基本事件是兩兩互不相容的。,7) 相互對(duì)立（互逆、互補(bǔ)）：,逆運(yùn)算的性質(zhì)：請(qǐng)注意互不相容與對(duì)立事件的區(qū)別！,則稱A和B相互對(duì)立（互逆、互補(bǔ)），B叫做A的逆（補(bǔ)）事件，

11、記做： 同樣，,三 事件間的運(yùn)算法則,1）冪等律:,2）交換律:,第一章 概率論的基本概念,3）結(jié)合律:,4）分配律:,5） De Morgan律 :,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例1：向指定的目標(biāo)射三發(fā)子彈，若試用A1，A2，A3 表示下列事件：（1） 只擊中第一發(fā)；（2）只擊中一發(fā)；（3）三發(fā)都沒有擊中；（4）至少擊中一發(fā) ；（5

12、）最多擊中一發(fā)例2：已知A表示事件“全班學(xué)生英語成績都及格”，則 表示什么含義？,第一章 概率論的基本概念,,練習(xí)：設(shè) A, B, C 為三個(gè)隨機(jī)事件，用A, B, C 的運(yùn) 算關(guān)系表示下列各事件.,(1) A 發(fā)生，B 與 C 都不發(fā)生.,(2) A ,B , C 都發(fā)生.,(3) A ，B , C 至少有一個(gè)發(fā)生.,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,第一章 概率論的基本概

13、念,(5) A ，B , C 都不發(fā)生.,(6) A ，B , C 不多于一個(gè)發(fā)生.,(7) A ，B , C 不多于兩個(gè)發(fā)生.,(8) A ，B , C 至少有兩個(gè)發(fā)生.,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,第一章 概率論的基本概念,要求：會(huì)用集合論語言和概率論語言表述 事件的關(guān)系.掌握： De Morgan律.,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,三 、 頻 率 與 概

14、率,1 頻率的定義和性質(zhì),1）頻率的定義 在相同的條件下，進(jìn)行了n 次試驗(yàn)， 在這 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) nA 稱為事件 A 發(fā)生的頻數(shù)。比值 n A / n 稱為事件A 發(fā)生的頻率，并記成 fn(A) 。,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,注：頻率fn(A)是一個(gè)變量，與試驗(yàn)次數(shù)以及每一次試 驗(yàn)結(jié)果有關(guān)。,2 ） 頻率的穩(wěn)定性,,,,,,,,,,實(shí) 驗(yàn) 者 德?

15、摩根 蒲 豐K ?皮爾遜K ?皮爾遜,n nH fn(H),2048 40401200024000,1061 2048 601912012,0.51810.50690.50160.5005,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,1）概率的統(tǒng)計(jì)定義：,在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次,試驗(yàn)中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某

16、一,常數(shù) p 附近擺動(dòng), 且隨 n 越大擺動(dòng)幅度越,小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).,頻 率 穩(wěn) 定 值 概率,,事件發(fā)生的頻繁程度,事件發(fā)生的可能性的大小,,,,頻率的性質(zhì),概率的統(tǒng)計(jì)定義,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,注： 概率是一個(gè)隨機(jī)事件所固有的屬性，與試驗(yàn)次

17、數(shù)以及每一次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)。統(tǒng)計(jì)定義的優(yōu)點(diǎn)：直觀。 缺點(diǎn)：粗糙。,2） 概率的公理化定義,定義 設(shè) E 是隨機(jī)試驗(yàn)，S 是它的樣本空間，對(duì)于 E 的每一個(gè)事件 A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為 P(A), 稱為事件 A 的概率，要求集合函數(shù) P( . ) 滿足下列條件：,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,3

18、 ） 概率的性質(zhì)與推廣,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,第一章 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,性質(zhì) 9,第一章 概率論的基本概念,要求：熟練掌握概率的性質(zhì)。,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,性質(zhì)9可以用數(shù)學(xué)歸納法證明,,§2 等可能概型,等可能概型（古典概型）,第一章

19、 概率論的基本概念,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,有這樣一類試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是： ? 樣本空間的元素只有有限個(gè)； ? 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。,一、 等可能概型（古典概型）,我們把這類實(shí)驗(yàn)稱為等可能概型，這種概率模型在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,概率的古典定義,§2等可能概型,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為S={e1, e2, …

20、en }，試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即P(e1)=P(e2)=…=P(en)。若事件 A 包含 k 個(gè)基本事件，即 A ={ei1, ei2, …eik }, 則有(概率的古典定義)：,第一章 概率論的基本概念,§2等可能概型,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例 將一枚硬幣擲三次，（1）設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求P（A1);(2) 設(shè)事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求P(A2).,例 1

21、 （1）把一套4卷本的書隨機(jī)地?cái)[放在書架上，問：恰好排成序（從左至右或從右至左）的概率是多少？,解：,第一章 概率論的基本概念,將書隨機(jī)地?cái)[放在書架上，每一種放法就是一個(gè)基本事件，共有放法4！種。,把書恰好排成序有兩種放法。所以，所求概率為,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例 2 將 n 只球隨機(jī)的放入 N (N ? n) 個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。,解： 將 n 只球放

22、入 N 個(gè)盒子中去, 共有,而每個(gè)盒子中至多放一只球,共有,第一章 概率論的基本概念,§2等可能概型,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,,,np,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,此例可以作為許多問題的概率模型，比如 “假設(shè)

23、每個(gè)人的生日在一年365天中的任一天是等可能的 ，即1/365。則在一個(gè)有n（小于等于365）個(gè)學(xué)生的班級(jí)里，至少有兩人生日相同”的概率為：經(jīng)用此公式可以得出： 計(jì)算可得下述結(jié)果：,第一章 概率論的基本概念,§2等可能概型,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,,例3 同時(shí)擲 5 顆骰子，試求下列事件的概率： A ={ 5 顆骰子不同點(diǎn) }； B ={ 5 顆骰子恰有 2 顆同點(diǎn) }

24、；,第一章 概率論的基本概念,§2等可能概型,解：,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例4 設(shè)有 N 件產(chǎn)品，其中有M件次品，今從中按不放回抽樣方式任取 n 件，問其中恰有 k ( k ? M ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,在 N 件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有,第一章 概率論的基本概念,,退

25、出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,（注：該問題是超幾何分布的實(shí)際背景）解：,于是所求的概率為：,此式即為超幾何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,第一章 概率論的基本概念,等可能概型,§2等可能概型,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,此式即為二項(xiàng)分布的概率公式。,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,問題：若 例4 改為：設(shè)有 N 件產(chǎn)品，

26、其中有M 件次品，今按重復(fù)抽樣方式從中任取 n 件，問其中恰有 k ( k ? M ) 件次品的概率是多少?（注：該問題為二項(xiàng)分布的實(shí)際背景）：,例 6 將 n個(gè)男生和m個(gè)女生(m<n) 隨機(jī)地排成一列,問：任意兩個(gè)女生都不相鄰的概率是多少？,解：,第一章 概率論的基本概念,§2等可能概型,任意兩個(gè)女生都不相鄰時(shí)，,首先n個(gè)男生的排法有n!種，,每兩個(gè)相鄰男生之間有一個(gè)位置可以站女生，還有隊(duì)列兩側(cè)各有一個(gè)位置可

27、以站女生，這樣m個(gè)女生共有n+1個(gè)位置可以站，,所以，任意兩個(gè)女生都不相鄰這一事件的概率為,n+m個(gè)學(xué)生隨機(jī)地排成一列共有排法(n+m)!種,總共排法有 種。,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例 7 袋中有 a只白球，b 只黑球．從中將球取出 依次排成一列，問第 k 次取出的球是黑球的 概率．,解： 設(shè) A=“第 k 次取出的球是黑球”,第一章 概率論的基本概念,§

28、;2等可能概型,,退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,例 8 從 1～9 這 9 個(gè)數(shù)中有放回地取出 n 個(gè). 試求取出的 n 個(gè)數(shù)的乘積能被 10 整除的概率．解：A ={取出的 n 個(gè)數(shù)的乘積能被 10 整除}； B ={ 取出的 n 個(gè)數(shù)至少有一個(gè)偶數(shù) }； C ={取出的 n 個(gè)數(shù)至少有一個(gè) 5 } ． 則 A = B ∩C.,第一章 概率論的基本概念,,

29、退 出,,,前一頁,后一頁,,目 錄,人們?cè)陂L期的實(shí)踐中總結(jié)得到概率論中的一個(gè)重要原理——實(shí)際推斷原理（小概率事件原理）： 概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的。注:1)用小概率原理可以對(duì)某些命題（或假設(shè)） 的是否正確做出判斷。2)若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了, 則可懷疑該事件不是小概率事件3）一般的，若P(A) 不大于0.01 , 則可認(rèn)為A為小概率事件.,例8 校長辦公室某一周內(nèi)曾接待過9次來,訪, 這些來訪都