初等數(shù)論 (6)

1、初等數(shù)論教學設計,唐山師范學院灤州分校朱國Email:tsmaths@126.com,序言,,歐幾里德 高斯,費馬,歐拉,拉格朗日 畢達格拉斯,數(shù)論是研究整數(shù)性質的一門很古老的數(shù)學分支， 其初等部分是以整數(shù)的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分數(shù)、素數(shù)（即整數(shù)）分布 以及數(shù)論函數(shù)等內容，統(tǒng)稱初等數(shù)論（elementary number t

2、heory）。,初等數(shù)論的大部份內容早在古希臘歐幾里德的《 幾何原本》中就已出現(xiàn)。歐幾里得證明了素數(shù)有無窮多個，他還給出求兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)的方法， 即所謂歐幾里得算法。我國古代在數(shù)論方面亦有杰出之貢獻，現(xiàn)在一般數(shù)論書中的“中國剩余定理”正是我國古代《孫子算經(jīng)》中的下卷第26題，我國稱之為“孫子定理”。,近代初等數(shù)論的發(fā)展得益于費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算術探究》是數(shù)論的劃時代杰作。高斯還提出

3、：“數(shù)學是科學之王，數(shù)論是數(shù)學之王”?？梢姼咚箤?shù)論的高度評價。,由于自20世紀以來引進了抽象數(shù)學和高等分析的巧妙工具，數(shù)論得到進一步的發(fā)展，從而開闊了新的研究領域，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等 新分支。而且近年來初等數(shù)論在計算器科學、組合數(shù)學、密碼學、代數(shù)編碼、計算方法等領域內更得到了 廣泛的應用，無疑同時間促進著數(shù)論的發(fā)展。,數(shù)論是以嚴格和簡潔著稱，內容既豐富又深刻。我將會介紹數(shù)論中最基本的概念和理論，希望大家能對這門學問產(chǎn)

4、生興趣，并且對中小學時代學習過的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍數(shù)、輾轉相除法等，有較深入的了解。,一、 基本內容 整除，因數(shù)與倍數(shù)，帶余除法，最大公因數(shù)與輾轉相除法，最小公倍數(shù)，素數(shù)與復合數(shù)，算術基本定理與標準分解式，Eratosthenes篩法，Mersenne數(shù)，F(xiàn)ermat數(shù)，完全數(shù)，線性不定方程，抽屜原理。,基本概念：,自然數(shù)（非負整數(shù)）：,把0，1，2，3，…，n叫做自然數(shù)。,自然數(shù)集N,正整數(shù)，正

5、整數(shù)集,整數(shù)、整數(shù)集z,第一節(jié) 進位制與計數(shù)法,一、十進位制及其計數(shù)法,進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制?，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。,一般地說，進率是幾，就叫做幾進位制。例如有二進位制、八進位制、十進位制、十二進位制、六十進位制等。我們通常是用“十進位制計數(shù)法”，它的特點是相鄰兩個單位之間的進率都是“十

6、”（即滿十進一），用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9，0和位值原則結合起來記數(shù)。如一百三十五記作135。,對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。,常見的進位制： 二進制廣泛用于計算機 三進制用于軍隊編制 十進制最常用 十二進制時辰、月份、一打物品 十六進制廣泛用于計算機 六十進制秒、分,

7、角度,不同進位制之間的互化：,,例：二進制的四則運算,,化成十進制,例二、化成二進制,例三、二進制與八進位互換,例4 已知求證：,例5 一個六位數(shù) 與3之積等于 ，求這個六位數(shù)。,例6 現(xiàn)有1克、2克、4克、8克、16克的砝碼各一個，若只能獎罰碼放在天平的一段，問能稱出多少種不同質量的物品？若稱23克的物品，因故和選配上述砝碼。,解答題：1．  把8743（10）化為七進位制

8、。 2．  把十進位制625 化為二進位制。 3．  把下列各數(shù)化為十進位制數(shù)。 （1）

9、0;   10110（10）；（2）21021（3）； （3）235（16）,4． 把下列各數(shù)化為二進位制數(shù)，三進位制數(shù) 。（1）    145(10)；（2）153(8) ； （3）215(12)5. 把下列各數(shù)化為二進位制小數(shù)：