哈工程線性控制原理系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性

1、1,穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,穩(wěn)定的擺,不穩(wěn)定的擺,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,2,外部穩(wěn)定性通過系統(tǒng)輸入輸出關系來描述系統(tǒng)穩(wěn)定性,內部穩(wěn)定性通過零輸入下狀態(tài)運動的響應來描述系統(tǒng)穩(wěn)定性,描述穩(wěn)定性的兩種方法,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,3,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性

2、分析,,,在研究運動的內部穩(wěn)定性時，為體現(xiàn)出系統(tǒng)自身結構的特點，常限于研究沒有外部輸入作用時的系統(tǒng)。也就是說內部穩(wěn)定性表現(xiàn)為系統(tǒng)的零輸入響應，即在輸入恒為零時，系統(tǒng)的狀態(tài)演變的趨勢。,李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于非線性、時變系統(tǒng)。,4,,,,李亞普諾夫第一法（間接法）,利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由于間接法需要解系統(tǒng)微分方程，并非易事，所以間接法的應用受到了很大的

3、限制。,先利用經驗和技巧來構造李亞普諾夫函數(shù)，再利用李亞普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。直接法不需解系統(tǒng)微分方程，獲得廣泛應用。,,李亞普諾夫第二法（直接法）,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,5,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,6,一 外部穩(wěn)定性,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,一．外部穩(wěn)定性,1．外部穩(wěn)定性的定義,對于一個因果系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的初始條件為零，如果對任意一個有界輸入u(t), 即滿足

4、 的一個任意輸入u(t)，對應的輸出y(t)均為有界，即有則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。也稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定，簡寫為BIBO穩(wěn)定。,,,7,對于零初始條件的p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，表G(t,τ)為其脈沖響應矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個有限正常數(shù)k，使對于一切 ， G(t,τ)的每一個元

5、 均滿足關系式：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,2. 線性時變系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù),,,8,對于零初始條件的p維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，G(t)為其脈沖響應矩陣，G(s)為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個有限正常數(shù)k，使G(t)的每一個元

6、 均滿足關系式：或等價地，真或嚴真的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有極點均具有負實部。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,3. 線性定常系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù),,,9,考慮輸入變量u=0的連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)即自治系統(tǒng) 如果由時刻t0任意非零初始狀態(tài)x(t0)=x0引起的零輸入響應x0u對所有 為有界，并滿足

7、漸近屬性，即成立則稱該系統(tǒng)為內部穩(wěn)定的，或漸近穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,二．內部穩(wěn)定性,1．內部穩(wěn)定性的定義,,10,對n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)系統(tǒng)在時刻t0是內部穩(wěn)定的充要條件為：狀態(tài)轉移矩陣 對所有 為有界,并滿足漸近屬性即成立：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,2. 線性時變系統(tǒng)內部穩(wěn)定判據(jù),注意：內部穩(wěn)定性是指自治系統(tǒng)狀態(tài)自由運動的穩(wěn)定性，也即李亞

8、普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定，它是由系統(tǒng)的結構和參數(shù)決定的。,11,對n維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)系統(tǒng)是內部穩(wěn)定的充要條件為：矩陣指數(shù)函數(shù)滿足關系式,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,3. 線性定常系統(tǒng)內部穩(wěn)定判據(jù)1,12,對n維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)系統(tǒng)是內部穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值 均具有負實部,即成立：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,4. 線性定常系

9、統(tǒng)內部穩(wěn)定判據(jù)2,,13,,外部穩(wěn)定性,,內部穩(wěn)定性,,,,既能控又能觀時,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,三．線性定常系統(tǒng)內部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關系,14,例1（補充）已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為判斷系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性。,,解：（1）傳遞函數(shù)矩陣,,即 ，求得G(s)的極點 具有負實部，所以系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性

10、分析,,,15,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,（2）由系統(tǒng)特征方程,,求得系統(tǒng)矩陣A的特征值為 ，因其具有一個正的實特征值，不滿足系統(tǒng)矩陣A的特征值均具有負實部的條件，所以不是漸近穩(wěn)定的。,16,1．自治系統(tǒng),沒有外輸入作用時的系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)，可用如下系統(tǒng)狀態(tài)方程來描述:,,式中：x為n維狀態(tài)向量，f(x,t)為線性或非線性、定?；驎r變的n維函數(shù)。具體為n個一階微分方程：,,第5

11、章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,17,,,假定自治系統(tǒng)狀態(tài)方程是滿足解的存在且唯一性條件的，則可將系統(tǒng)由t0初始時刻的初始狀態(tài)x0所引起的運動（即狀態(tài)方程的解）表為：,,則初始狀態(tài)x0必滿足φ(t0;x0,t0)=x0。由于這一運動是由初始狀態(tài)的擾動引起的，因此常稱其為系統(tǒng)的受擾運動。,2. 受擾運動,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,18,3. 平衡狀態(tài)(※),對于所有t，滿足 的狀

12、態(tài)xe稱為平衡狀態(tài)。,,若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令 所求得的解x，就是平衡狀態(tài)。在大多數(shù)情況下，xe=0即狀態(tài)空間原點為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。此外系統(tǒng)也可以有非零平衡狀態(tài)。系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運動能否依靠系統(tǒng)內部的結構因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,19,4. 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性,若對于任

13、意實數(shù)ε>0，都存在一個實數(shù)δ(ε,t0)>0, 使得從滿足不等式的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動都滿足不等式 則稱系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe在t0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的.式中： 為歐幾里得范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,20,在上述穩(wěn)定的定義中，實數(shù)δ通常與ε和初始時刻t0都有關，如果δ只依賴于ε，而和t0的選取無關，則稱平衡狀態(tài)xe是李亞普諾夫意義下一

14、致穩(wěn)定的。,該定義的幾何含義是：設系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于以平衡狀態(tài)xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內，即若能使系統(tǒng)方程的解φ(t;x0,t0)在t→∞的過程中，都位于以xe為球心，任意規(guī)定的半徑為ε的閉球域S(ε)內，即,,則稱平衡狀態(tài)xe在t0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,21,5. 漸近穩(wěn)定性,若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅具有李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有則稱此平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。,經

15、典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸近穩(wěn)定性對應。,若δ與t0無關，且上式的極限過程與t0無關，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。,從工程觀點而言，漸近穩(wěn)定更為重要。漸近穩(wěn)定即為工程意義下的穩(wěn)定，而李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定則是工程意義下的臨界不穩(wěn)定。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,22,6. 大范圍(全局)漸近穩(wěn)定性,如果對于任意初始狀態(tài)x0 ，都能保證成立，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的，也稱為全局漸近穩(wěn)定。,也就是說當初始條

16、件擴展至整個狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)xe均具有漸近穩(wěn)定時，稱此平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。,大范圍漸近穩(wěn)定系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)?。?！,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,23,7. 不穩(wěn)定性,如果對于某個實數(shù)ε>0和任一實數(shù)δ>0，不管ε有多么大,也不管δ有多么小，在S(δ)內總存在著一個狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S(ε) ，則平衡狀態(tài)xe就稱為是不穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,24,,,,xe

17、,x0,,,,,xe 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定,,,,xe,x0,,xe 漸近穩(wěn)定,,,,xe,x0,xe 全局漸近穩(wěn)定,,,,,,xe,x0,,xe 不穩(wěn)定,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,25,李亞普諾夫第二法直接從系統(tǒng)的狀態(tài)方程出發(fā)，通過構造一個類似于“能量”的李亞普諾夫函數(shù)，并分析它和其一階導數(shù)的符號特征，從而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關信息。該方法無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故又稱為直接法。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,26,李

18、亞普諾夫函數(shù)是狀態(tài)變量 x 及時間 t 的正定標量函數(shù)，具有以下性質：,一. 李亞普諾夫函數(shù),若不顯含時間變量t，李亞普諾夫函數(shù)記為 V(x)。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,27,,標量函數(shù)V(x)對所有S域（域S包含狀態(tài)空間的原點）中的非零狀態(tài)x有V(x)>0且V(0) = 0，則稱V(x)在S域內是正定的。,如果時變函數(shù)V(x,t)有一個正定函數(shù)作為下限，也就是說，存在一個正定函數(shù)W(x) ，使得則稱時變函數(shù)V(

19、x,t)在域S（域S包含狀態(tài)空間的原點）內是正定的。,,1．正定函數(shù)：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,二．基本概念回顧,28,2. 負定函數(shù)：如果-V(x)是正定函數(shù)，則標量函數(shù)V(x)為負定函數(shù)。,3. 正半定函數(shù)：如果標量函數(shù)V(x)除了原點及某些狀態(tài)處等于零外，在域S內的所有其它狀態(tài)都是正定的，則V(x)為正半定函數(shù)。,4. 負半定函數(shù)：如果-V(x)是正半定函數(shù)，則標量函數(shù)V(x)稱為負半定函數(shù)。,5. 不定函數(shù)：如果不論域

20、S多么小，在域S內的V(x)可能是負值也可能為正值，則標量函數(shù)V(x)稱為不定函數(shù)。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,29,設實系數(shù)二次型V(x)=xTAx，其中A是實對稱方陣，如果對任何不全是零的實數(shù) ，簡記為x≠0，函數(shù)值V(x)>0，則稱V(x)是正定的，同時也稱A是正定的，記為A >0。,6．正定矩陣：,,單位陣是正定的：,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,說明：由上述定義可見二次型函數(shù)V(

21、x)=xTAx與其權矩陣A的定號性完全一致。因此判斷V(x)的定號性只要判別矩陣A的定號性即可。,30,實對稱陣A > 0的充要條件是 ① 存在可逆實方陣C，使A=CTC。 或② A的所有特征值全都大于0。 或③ A順序主子式(即位于左上角的主子式)全大于 0， 即,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,對角陣D=diag{d1,…, dn}正定的充要條件是所有對角元素di > 0

22、。這是因為 的充要條件是di > 0 。,,,31,,對于連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng) ， 其中 ，如果存在一個對狀態(tài)x和時間t具有 連續(xù)一階偏導數(shù)標量函數(shù)V(x, t), V(0, t) = 0，且滿足如下條件：,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,三．李亞普諾夫第二法主要定理,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,1．定理5.1（大范

23、圍一致漸近穩(wěn)定判別定理）(時變),,(1) V(x, t)正定且有界；,(2) 負定且有界；,(3) 當||x||→∞時，V(x, t) →∞。,32,2. 定理5.2 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1),對于定常系統(tǒng)其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間X中的一切非零點x滿足如下條件： 1） V(x)為正定； 2）

24、 為負定； 3） 當 時， 。則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,33,例5.2：設系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,解：顯然, 原點(x1=0, x2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取正定標量函數(shù)為:,則沿任意軌線V(x)對時間的導數(shù)為:,,是負定的。,故V(x)是系統(tǒng)的一個李亞普諾夫函數(shù)。

25、由于當 時， ，故系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,34,3. 定理5.3 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2),對于定常系統(tǒng)其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間X中的一切非零點x滿足如下條件： 1） V(x)為正定； 2）

26、為負半定； 3） 對于任意 非零 ； 4） 當 時， 。則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,其物理含義是：允許系統(tǒng)運動過程在某些狀態(tài)點上“能量”變化率為零，而由條件3）保證運動過程能夠脫離這類狀態(tài)點而繼續(xù)收斂到原點平衡狀態(tài)

27、。,,,,35,設系統(tǒng)狀態(tài)方程為,例5.3 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為,試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,36,4. 定理5.4 (不穩(wěn)定的判別定理),對于定常系統(tǒng),,,， 其中,如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x)，其中V(0)=0 ，和圍繞原點的域Ω，使得對于一切 非零狀態(tài) 和一切 滿足如下條件：,1） V(x)為正定；2） 為正定；則系統(tǒng)平衡狀

28、態(tài)為不穩(wěn)定。,,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,37,,其中，f(0)=0,即原點是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。,非線性定常系統(tǒng)：,定義系統(tǒng)的雅可比矩陣為：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,四．李亞普諾夫函數(shù)的構造方法—克拉索夫斯基方法,38,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,命題1：對連續(xù)時間非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點平衡狀態(tài)的一個域 ，設原點x=0是系統(tǒng)的唯一的平衡狀態(tài)，則對 成立：,,,

29、,,39,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,命題2：對連續(xù)時間非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點平衡狀態(tài)的一個域 ，定義候選李亞普諾夫函數(shù)：則對 ，V(x)為正定，即成立,,,,,,,40,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,命題3：對連續(xù)時間非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點平衡狀態(tài)的一個域 ，若即負定，則有 ,即負定。其中：,,,,,,,

30、,,,41,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,證：由 ，得,,42,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,結論1(克拉索夫斯基定理):對連續(xù)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點平衡狀態(tài)的一個域 ，原點x=0為域Ω內唯一平衡狀態(tài)，若 ，則系統(tǒng)平衡狀態(tài)x=0為域Ω內漸近穩(wěn)定，且為一個李亞普諾夫函數(shù)。進而，如果原點x

31、=0為狀態(tài)空間Rn內的唯一平衡狀態(tài)，且當 時有 則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,,43,,,,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,結論2：對連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)矩陣A為非奇異矩陣，若 即負定，則原點平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。,,,說明（補充）：1.克拉索夫

32、斯基定理提供的只是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充分條件。 的必要條件是雅可比矩陣F(x)主對角線上的元素都為負值。,,44,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,例5.4 已知連續(xù)時間非線性定常系統(tǒng),,試用克拉索夫斯基方法判斷系統(tǒng)的內部穩(wěn)定性。,解：(1)由狀態(tài)方程可求得：原點為該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。,,(2)計算雅可比矩陣,,負值,,45,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,(3)

33、矩陣 的各階順序主子式：,,,,,即 ，則,,46,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,（4）又當 時，有由結論1，原點平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定。,,,相應的一個李亞普諾夫函數(shù)為,,47,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,一．線性時不變系統(tǒng)的特征值穩(wěn)定判據(jù),李亞普諾夫第一法(間接法)利用狀態(tài)方程解

34、的特性來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它適用于線性定常、線性時變以及非線性函數(shù)可線性化的情況。 具體到線性定常系統(tǒng)，可使用其特征值來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。,48,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,結論5.22/5.23[特征值判據(jù)]：考慮線性定常自治系統(tǒng),系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有非正(負或零)實部，且實部為零的特征值是A的最小多項式的單根。,系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)xe=0是漸近

35、穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部。,49,最小多項式（補充）：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,給定n階系統(tǒng)方陣A，由系統(tǒng)特征矩陣的逆,可以導出,,完全消去α(s)和adj(sI-A)各個元多項式間的公因式，得到 ,且P(s)和 的各個元多項式之間為互質。定義 為系統(tǒng)矩陣A的最小多項式。可以證明：最小多項式 也滿足凱萊—哈密爾頓定理，即成立

36、 。故通常也可定義最小多項式就是滿足凱萊—哈密爾頓定理的矩陣A的次數(shù)最低的首1多項式。,,,,,50,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,2. 矩陣A的最小多項式是A的特征多項式的一個,因子.（即矩陣A的最小多項式可以整除A的特征多項式）,,,51,,,定理：已知設m(s)為adj(sI-A)中所有元多項式的首1最大公因式,則 為矩陣A的最小多項式。,,,注：換言之，矩

37、陣A的最小多項式就是(sI-A)-1中所有元素的最小公分母。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,,52,,,例5.6（補充）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性,,解：(1)系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 ，其中x1和x2為任意實數(shù)，即狀態(tài)空間中x1—x2平面上的每一個點均為平衡狀態(tài)。,,,得特征值分別為：

38、 。,2）解系統(tǒng)的特征方程,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,零實部?。?,,53,,,,(3),故最小多項式為φ(s)=s(s+1)。系統(tǒng)所有特征值均具有非正實部，且具有零實部的特征值是最小多項式的單根，因此系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)都是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,54,例5.7（補充）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性,,解：系統(tǒng)矩陣A為非奇異，顯然原點 x = 0 是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。,,得特征值分別為：,

39、,系統(tǒng)的所有特征值都具有負實部，所以系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。,解系統(tǒng)的特征方程,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,55,作為可能的李亞普諾夫函數(shù)?，F(xiàn)在只需保證是負定的，則根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1，可斷定系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,設線性定常系統(tǒng)為,A為非奇異矩陣。故狀態(tài)空間的原點是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。通常可選取正定二次型函數(shù),,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,二．線性時不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù),,,56,欲

40、使 是負定函數(shù)，即要求矩陣Q是任意正定矩陣。,根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1，只要給定一個正定矩陣Q，李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程：,有正定解P，系統(tǒng)就是大范圍漸近穩(wěn)定的。,推導V(x)對時間導數(shù)滿足要求的條件：,令：,李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,在應用時往往先選取Q為實正定矩陣，再求解李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程，若所求的P陣為正定實對稱矩陣，則可判定系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,,,57,結論5.

41、24 （※ ） 線性定常系統(tǒng),的原點平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于任意給定的一個正定對稱矩陣Q，李亞普諾夫矩陣方程,有唯一正定對稱矩陣解P。,注意：使用中常選取Q陣為單位陣或正定對角陣。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,?,,,,58,注意：對于結論5.24，作為一般原則，矩陣Q在,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,?,保證正定的前提下可以任意選取，且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判斷結果與Q的不同選取無關，基

42、此，在具體應用中，常將矩陣Q取為正定對角陣或單位陣，以簡化計算過程。,,,59,例5.7(※)設線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,解：A非奇異，原點是唯一平衡狀態(tài)，令李亞普諾夫方程為,試用李亞普諾夫方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,則有：,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,60,得到3個線性方程：,由于 ，故P負定，則系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。,

43、得到：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,61,解得特征值為：有一個特征值具有正實部，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,為了對比，下面用特征值判據(jù)判斷：,A是非奇異矩陣，故xe=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，且,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,62,（補充）根據(jù)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2可以推知，若系統(tǒng)任意的狀態(tài)軌跡在非零狀態(tài)不存在 恒為零時，Q陣可選擇為正半定的，即允許Q取單位陣時主對角線上部分元素為零，而解得的P陣仍為正定，則系統(tǒng)是漸近

44、穩(wěn)定的。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,?,,,63,例5-6 設系統(tǒng)為,試用李亞普諾夫方程確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值。,解：根據(jù)圖中定義的狀態(tài)變量，得到狀態(tài)方程,因detA=-k≠0，A非奇異，故原點是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。,-,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,64,假定Q取為正半定矩陣,則 為負半定（x1，x2任意，x3=0時，

45、 ）。,這表明使 的狀態(tài)軌線中惟有原點滿足狀態(tài)方程，這意味著使 的狀態(tài)軌線不是系統(tǒng)的受擾運動解，故可采用正半定Q來簡化穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,當 時，,,,,65,令李亞普諾夫方程：,得到以下6個線性方程：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,66,P為正定矩陣的充要條件是：,解得：,解得 0< k <6，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。,第5章

46、 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,67,據(jù)勞斯判據(jù)，確定保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值范圍：,為了比較，用特征值判據(jù)判斷：,故0< k <6時，所有特征值均具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。,是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，且,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,68,定理（補充） 對于所選擇的正半定矩陣Q，在{A,Q}完全可觀測的條件下，即,系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，李亞普諾夫方程有唯一正定解P。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,69,例5-6

47、設系統(tǒng)為,試用李亞普諾夫方程確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值。,解：根據(jù)圖中定義的狀態(tài)變量，得到狀態(tài)方程,因detA=-k≠0，A非奇異，故原點是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,70,假定Q取為正半定矩陣,則 為負半定（x1，x2任意，x3=0時， ）。,這表明使 的狀態(tài)軌線中惟有原點滿

48、足狀態(tài)方程，這意味著使 的狀態(tài)軌線不是系統(tǒng)的受擾運動解，故可采用正半定Q來簡化穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,當 時，,,,檢查{A,Q}的可觀性：,, {A,Q}完全可觀測,故該正半定的Q可以采用。,71,令李亞普諾夫方程：,得到以下6個線性方程：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,72,P為正定矩陣的充要條件是：,解得：,解得 0< k <6，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。,第