3.7反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)-自動控制原理

1、1.誤差與偏差,一．誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義,系統(tǒng)輸出量的期望值c0(t)與實際輸出c(t)之差定義為反饋系統(tǒng)響應r(t)的誤差信號，即,§3-7 反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及計算,對于單位反饋系統(tǒng)，其輸入量r(t)的值即為輸出量期望值，即,,代入上式得,,單位反饋系統(tǒng)的偏差和誤差是相等的，偏差的穩(wěn)態(tài)值ess就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差εss ，即,,,,－偏差,對于非單位反饋系統(tǒng),偏差為零時的輸出量即為期望值，即,非單位反饋系統(tǒng)的偏差和誤差

2、之間并不相等，但具有確定的關(guān)系。,穩(wěn)態(tài)誤差：反饋系統(tǒng)誤差信號ε(t)的穩(wěn)態(tài)分量，記作εss(t)。,動態(tài)誤差：反饋系統(tǒng)誤差信號ε(t)的暫態(tài)分量，記作εts(t)。,對穩(wěn)定系統(tǒng)，,2.穩(wěn)態(tài)誤差,說明：,1）誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它是輸出的希望值與實際值之差，這種方法定義的誤差在性能指標提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量，因而一般只具有數(shù)學意義。,2）偏差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它是系統(tǒng)輸入信號與主反饋信號之差，這種方法定

3、義的誤差，在實際系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有一定的物理意義。,3）對單位反饋系統(tǒng)而言，誤差與偏差是一致的。,4）有些書上對誤差、偏差不加區(qū)分，只是從不同的著眼點（輸入、輸出點）來定義。,5）影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素有很多，如系統(tǒng)的機構(gòu)、參數(shù)以及輸入量的形式等。,二、給定輸入信號作用下系統(tǒng)的誤差分析,對于非單位反饋系統(tǒng)而言，有,令 －

4、系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù),對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，根據(jù)拉氏變換的終值定理和穩(wěn)態(tài)誤差的定義，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,穩(wěn)態(tài)誤差的大小與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s）以及輸入信號R(s)的形式有關(guān)。,（1）系統(tǒng)型別,1、穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算,設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為,稱為零型系統(tǒng),稱為 I 型系統(tǒng),稱為 II 型系統(tǒng),系統(tǒng)的型別以 來劃分,優(yōu)點：1．可以根據(jù)已知的輸入信號形式，迅速判 斷是否存在穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。,2．系統(tǒng)階數(shù)m,n的大小與系統(tǒng)型別無關(guān)，

5、且不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值。,2.利用終值定理計算,應用終值定理的條件是sE(s)在s右半平面及虛 軸上解析，或者說sE(s)的極點位于左半平面（包括坐標原點）。,3．靜態(tài)誤差系數(shù),已知,定義 位置誤差系數(shù),1）對于0型系統(tǒng)，ν＝0，則,0型系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差的大小近似與開環(huán)增益成反比，K越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，穩(wěn)態(tài)精度越高。所以，增加系

6、統(tǒng)的開環(huán)增益可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。,故,2）對于Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)，ν＝1或ν＝2，則,故Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差為,定義 速度誤差系數(shù),對于0型系統(tǒng)，ν＝0，則,故,同理， 時，,時，,定義 加速度誤差系數(shù),對于0型系統(tǒng)，ν＝0，則,故,同理

7、， 時，,時，,解：（1）根據(jù)公式可以分別求得,例1: 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，試求：（1）Kp ，Kv 和 Ka ；（2）當 r(t) ＝ 5 t 時的 ess ；3）當 r(t) ＝2＋2t＋t２ 時的 ess 。,,,,,,（3）當輸入當 r(t) ＝2＋ 2 t＋ t２ 時，穩(wěn)態(tài)誤差為,,（2）當輸入 r(t) ＝ 5t 時，穩(wěn)態(tài)誤差為,三、擾動

8、輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析,假定給定輸入信號r(t)=0。此時，由于擾動作用使系統(tǒng)產(chǎn)生輸出，輸出值的大小就是誤差的大小。擾動作用產(chǎn)生的誤差稱為系統(tǒng)的擾動誤差，是以輸出量c(t)的穩(wěn)態(tài)值來分析系統(tǒng)的擾動作用。,如圖所示系統(tǒng),當R(s)=0時，有,,擾動誤差,,,式中 －系統(tǒng)對擾動作用的誤差傳遞函數(shù),,,系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差essn為,,式中

9、 －系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),,系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、擾動作用點的位置以及擾動作用的形式有關(guān)。 擾動作用點不同，相同的擾動輸入的穩(wěn)態(tài)誤差不一定相同。 具有相同的傳遞函數(shù)的兩個系統(tǒng)，對于給定作用，有相同的誤差系數(shù)。但擾動作用點不同，相同的擾動引起不同的擾動作用。,如右圖所示兩個系統(tǒng)，具有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，擾動作用點不同。,,設(shè),(a),(b

10、),圖(a)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,,圖(b)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,圖(a)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，而圖(b)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不為零。,增加偏差到擾動作用點之間前向通道的積分環(huán)節(jié)個數(shù)或增大開環(huán)增益，可使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度提高。 對于實際系統(tǒng)，當給定輸入作用和擾動輸入作用同時存在時，可用疊加原理將兩種作用分別引起的穩(wěn)態(tài)誤差相疊加。,四、復合控制系統(tǒng)的誤差分析,在控制系統(tǒng)中采用復合控制的方法，可以進一步減小給定和擾動誤差。,如右圖所示系統(tǒng),,特征方

11、程式為,給定誤差為 （1）,,在系統(tǒng)中引入開環(huán)補償環(huán)節(jié)G3(s)，使之構(gòu)成復合控制系統(tǒng)。如右圖所示。 此時系統(tǒng)稱為前饋控制，它實質(zhì)上是一種補償控制,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,由于系統(tǒng)的特征方程式?jīng)]有改變，所以引入前饋控制不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,系統(tǒng)的給定誤差為,,（2）,計較(1)式和(2)式可見，引入前饋控制可以減小誤差。,

12、若滿足,,（3）,則誤差E(s)=0，即系統(tǒng)的輸出量完全復現(xiàn)給定輸入作用。這種將誤差完全補償?shù)淖饔茫Q為全補償。,式(3)稱為按給定作用實現(xiàn)完全不變性的條件。,同理，可以求出按擾動作用實現(xiàn)完全不變性的條件。,如右圖所示，擾動誤差為,,若滿足,,則E(s)=C(s)=0，系統(tǒng)的輸出量完全不受擾動影響，即實現(xiàn)全補償。式(4)稱為按擾動作用實現(xiàn)完全不變性的條件。,(4),實際上，實現(xiàn)完全補償是很困難的，但是即使采取部分補償，也可大大提高穩(wěn)態(tài)精