工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)-第五章

1、,,第五章 實(shí)二次型,§5.1 二次型及其矩陣表示§5.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形§5.3 正定二次型與正定矩陣§5.4 二次型應(yīng)用舉例,一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩陣及秩四、小結(jié) 思考題,第一節(jié) 二次型及其矩陣表示,一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念,稱為二次型.,例如,都為二次型；,為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.,1．用和號(hào)表示,對(duì)二次型,二、二次型的表示方法,2．用矩陣表示

2、,三、二次型的矩陣及秩,在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型．這樣，二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．,解,例１,四、小結(jié),1.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念,2.二次型的表示方法,3.二次型的矩陣及秩,思考題,思考題解答,一、滿秩線性變換與合同矩陣二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形四、慣性定理與二次型的規(guī)范形五、小結(jié) 思考題

3、,第二節(jié) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,設(shè),一、滿秩線性變換與合同矩陣,對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．,證明,即 為對(duì)稱矩陣.,,(,),(,),.,,,,,,,,,,A,R,B,R,B,A,AC,C,B,C,T,=,=,且,也為對(duì)稱矩陣,則,矩陣,為對(duì)稱,如果,令,任給可逆矩陣,定理,說(shuō)明,設(shè) 、 為兩個(gè) 階方陣 ，如果存在 階可逆方陣 使得 ，則稱

4、 與 合同，或 合同于 ，記為 .并稱由 到 的變換為合同變換，稱 為合同變換的矩陣.,定義5.2,二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟,解,1．寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值,例1,從而得特征值,2．求特征向量,3．將特征向量正交化,得正交向量組,4．將正交向量組單位化，得正交矩陣,于是所求正交變換為,解,例2,.,2,2,,,

5、2,2,2,2,,,,,4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,化為標(biāo)準(zhǔn)形,把二次型,求一個(gè)正交變換,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,f,Py,x,+,+,-,-,+,=,=,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變．,問(wèn)題　有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？,問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．,三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,1.　若二次型含有 的平

6、方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;,拉格朗日配方法的步驟,2.　若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換,化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.,解,例3,,所用變換矩陣為,解,例4,由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以,再配方，得,所用變換矩陣為,四、慣性定理與二次型的規(guī)

7、范形,一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過(guò)拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩．,下面我們限定所用的變換為實(shí)變換，來(lái)研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)．,,(,),(,),.,,,,,,,,,,,0,,,,,0,,,,,,,,,,,,),(,5.2,1,1,2,2,2,2,2,1,1,2,2,2,2,2,1,1,相等,中正數(shù)的個(gè)數(shù),中正數(shù)的個(gè)

8、數(shù)與,則,及,使,及,有兩個(gè)實(shí)的可逆變換,為,它的秩,設(shè)有實(shí)二次型,慣性定理,定理,l,l,l,l,l,l,r,r,i,r,r,i,r,r,T,k,k,z,z,z,f,k,y,k,y,k,y,k,f,Pz,x,Cy,x,r,Ax,x,f,L,L,L,L,¹,+,+,+,=,¹,+,+,+,=,=,=,=,五、小結(jié),1.　實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過(guò)在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二

9、次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們注意這種研究問(wèn)題的思想方法．,2.　實(shí)二次型的化簡(jiǎn)，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換．,3. 將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，這取決于問(wèn)題的要求．如果要求找出一個(gè)正交矩陣，無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用．正交變

10、換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計(jì)算量通常較大；如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡(jiǎn)單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相同，項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩．,4.慣性定理,思考題1,思考題1解答,思考題2,思考題2解答,一、正(負(fù))定二次型的概念二、正(負(fù))定二次型的判別三、小結(jié) 思考題,第三節(jié) 正定二次型與正定矩陣,為正定二次型,為負(fù)定二

11、次型,一、正(負(fù))定二次型的概念,例如,證明,充分性,故,二、正(負(fù))定二次型的判別,必要性,故,推論　對(duì)稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正．,這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理．,定理3 對(duì)稱矩陣 為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即,對(duì)稱矩陣 為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即,正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì),解,它的順序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩陣為,用特征