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1、文獻(xiàn)綜述文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)散級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用發(fā)散級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一級(jí)數(shù)中的發(fā)散級(jí)數(shù)自從級(jí)數(shù)誕生以來(lái),發(fā)散級(jí)數(shù)就困擾著數(shù)學(xué)家們。比如為人所熟知的調(diào)和級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的,這是一個(gè)令人困惑的事情,事實(shí)上調(diào)和級(jí)數(shù)以令人不耐煩地慢向無(wú)窮大靠近,調(diào)和級(jí)數(shù)的和要想達(dá)到51那么它需要有2的100次方那個(gè)多項(xiàng)才OK。而2的100次方這個(gè)項(xiàng)是一個(gè)大到我們能夠處理范圍以外的數(shù)字,在計(jì)算機(jī)元科學(xué)領(lǐng)域,這屬于一個(gè)不可解的數(shù)。雅各布.伯
2、努利還曾寫過一首數(shù)學(xué)短詩(shī),大意是無(wú)窮小中竟然蘊(yùn)含這巨大,因?yàn)?n是趨與0的,而這些趨于0的數(shù)之和竟然是無(wú)窮大的,確實(shí)讓人震驚。這些在可惜意義下不可收斂的級(jí)數(shù)卻常常要應(yīng)用的。數(shù)學(xué)家們開始給他們定義各種正則和,比如齊查羅和,阿貝爾和等,這些和對(duì)于收斂級(jí)數(shù)來(lái)說仍然是有效的,對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)卻有著重大意義。二發(fā)散級(jí)數(shù)中的漸近級(jí)數(shù)隨著生產(chǎn)力發(fā)展的需要,人們必須深入到非線性研究領(lǐng)域中,在這一領(lǐng)域中,疊加原理不再適用,原來(lái)的那一套數(shù)學(xué)方法失效了,我們必須尋
3、找新的途徑,漸近方法中的奇異攝動(dòng)理論是解決非線性問題行之有效的方法之一。尤其在數(shù)學(xué)物理中,漸近方法可分為兩大部分:1.漸近分析包括漸近級(jí)數(shù),積分的漸近展開,微分方程的漸近解。2.奇異攝動(dòng)理論,它的應(yīng)用領(lǐng)域涉及波動(dòng),穩(wěn)定性,粘性流,氣泡運(yùn)動(dòng)等方面。這些理論最最基礎(chǔ)的就是漸近級(jí)數(shù)了,數(shù)學(xué)家龐加萊在解決天文問題時(shí)就遇到了漸近級(jí)數(shù),這也是我們了解漸近級(jí)數(shù)的一般定義。聯(lián)系發(fā)散級(jí)數(shù)的求和問題,漸近級(jí)數(shù)在近似求解方面也大有作為,當(dāng)然在計(jì)算機(jī)時(shí)代這些好
4、像微不足道,實(shí)際上理論上的研究對(duì)于實(shí)際計(jì)算中遇到的問題是很有作用。比如正態(tài)概率積分用收斂級(jí)數(shù)和漸近級(jí)數(shù)得到的近似解具有完全不同的功效,x越來(lái)越大時(shí),收斂級(jí)數(shù)的誤差越來(lái)越大,漸近級(jí)數(shù)卻越來(lái)越精確。三收斂級(jí)數(shù)與漸進(jìn)級(jí)數(shù)的區(qū)別若函數(shù)f(x)可以展開成在x0附近的漸近級(jí)數(shù),1)收斂級(jí)數(shù):x固定,N項(xiàng)部分和當(dāng)N趨于無(wú)窮大時(shí)有極限f(x);漸近級(jí)數(shù):N固定,N項(xiàng)部分和當(dāng)x趨于x0時(shí)有極限f(x);2)收斂級(jí)數(shù):函數(shù)與級(jí)數(shù)的部分和之差的絕對(duì)誤差趨于零
5、;漸近級(jí)數(shù):函數(shù)與級(jí)數(shù)的部分和之差的相對(duì)誤差趨于零;3)收斂級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的項(xiàng)當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)一定趨于零;漸近級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的項(xiàng)當(dāng)n增大時(shí)不一定趨于零——漸近級(jí)數(shù)經(jīng)常是發(fā)散的!四漸近級(jí)數(shù)的展開為了應(yīng)用于計(jì)算數(shù)值積分,我們必須解決一個(gè)首要問題,怎樣將一個(gè)函數(shù)展開成漸近級(jí)數(shù)。簡(jiǎn)單的函數(shù)和一些常見的函數(shù)可以利用分部積分展開,大部分函數(shù)必須通過鞍點(diǎn)法和歐拉邁克勞林公式。參考文獻(xiàn)[1]楊祿源冪級(jí)數(shù)與漸近級(jí)數(shù)[M].長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社.2001[2]
6、李家春周顯初數(shù)學(xué)物理中的漸近方法[M].長(zhǎng)沙:科學(xué)出版社.1998[3]戴世強(qiáng)漸近分析系列講座[R].上海:上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所.2004[4]顏士龍.調(diào)和級(jí)數(shù)仍是一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)[J].山東:山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院.2008[5]蔣曉云.調(diào)和級(jí)數(shù)悖論剖析[J].廣西.桂林師專數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系.2008[6]陳文生.關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的研究及其應(yīng)用[J].黑龍江.大慶師范學(xué)院報(bào).2010[7]張慧.既發(fā)散又收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)[J].
7、陜西.陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào).2004[8]余文卿.一些發(fā)散級(jí)數(shù)的求和法[R].臺(tái)灣.國(guó)立中正學(xué)數(shù)學(xué)系.[9]Edwardchlebus.Anproximatefmulafapartialsumofdivergentpseries.USA.departmentofcomputersciencellliniosinstituteoftechnology.2008[10]S.L.skokhodov.Advancedtechniquesfcompu
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