復數(shù)域內的函數(shù)冪級數(shù)展開及其應用【文獻綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學與應用數(shù)學</b></p><p>　　復數(shù)域內的函數(shù)冪級數(shù)展開及其應用</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　早在14世紀，印度數(shù)學家馬德哈瓦提出了有關函數(shù)

2、展開成無窮級數(shù)的概念。眾多數(shù)學家，如格高利，泰勒、歐拉、高斯等均對級數(shù)理論做了重要貢獻。級數(shù)理論一經(jīng)產(chǎn)生就不斷在函數(shù)逼近論、微分方程、復變函數(shù)等理論中顯現(xiàn)了突出的應用價值。</p><p>　　自18世紀初至19世紀末，冪級數(shù)展開問題成為中國數(shù)學的一個非?；钴S的研究領域。的無窮級數(shù)表達式，即圓徑求周公式，是牛頓(Isaac Newton，1642-1727)1667年發(fā)現(xiàn)的。正弦和正矢的冪級數(shù)展開式，即弧背求正弦

3、和弧背求正矢公式是英國數(shù)學家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)發(fā)現(xiàn)的。法國傳教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)1701年來華，把這三個公式介紹給中國學者。著名數(shù)學家梅文鼎之孫梅玨成(1681-1763)將其收入《梅氏叢書輯要》的附錄《赤水遺珍》，并分別稱為“求周徑密率捷法”和“求弦矢捷法”，這三個公式也被稱為杜氏三術[1]。</p><p>　　其后明安圖(1692-1764)經(jīng)

4、過30余年的不懈努力，他融會貫通了中國傳統(tǒng)數(shù)學知識與剛剛傳入的西方數(shù)學知識，圓滿地證明了前三個公式，同時還得到另外六個公式，即為《割圓密率捷法》中的九個公式：“圓徑求周、弧背求正弦、弧背求正矢、弧背求通弦、弧背求矢、通弦求弧背、正弦求弧背、正矢求弧背、矢求弧背”。由陳際新于1744年整理成書并于1839年出版。牛頓在1666年通過無窮級數(shù)逐項積分的方法推導出的冪級數(shù)展開式，而在1669年又用級數(shù)回求法給出這一公式。日本數(shù)學家建部賢弘(K

5、atahiro Takebe)，在1722年采用與明安圖不同的分析方法得到了同一公式。1737年，歐拉(L．Euler，1707-1783)在給伯努利(J．Bernoulli，1667-1748)的一封信中提出關于反正矢平方的冪級數(shù)展開式，但直到1817年這一公式才公開發(fā)表。</p><p>　　1819年春，董祜誠在北京朱鴻處見到明安圖的《割圓密率捷法》第一卷抄本以后，“反復尋繹，究其立法之原”。不僅為冪級數(shù)展

6、開式的研究提供了有利的工具，同時也將中國傳統(tǒng)數(shù)學的垛積術研究推進了一大步。董祜誠的冪級數(shù)研究工作直接影響到項名達。項名達在京期間見到明安圖的《割圓密率捷法》和董祜誠的《割圓連比例圖解》后，便開始研究弦矢問題，并創(chuàng)立了下列兩個公式，“知本度通弦求他度通弦”和“知本度矢求他度矢”：</p><p>　　其中為圓半徑，分別為圓內某弧的倍、倍弧長，分別為相應的中矢。由這兩個公式可推導出明安圖的九個公式和董祜誠的四個公式，

7、其中包括正弦和反正弦的冪級數(shù)展開式，正矢和反正矢的冪級數(shù)展開式以及圓周率的無窮級數(shù)表達式等[1]。中國傳統(tǒng)數(shù)學雖未進入微積分的全面發(fā)展時代，但對冪級數(shù)的理論研究也是獨樹一幟，碩果累累的。這些數(shù)學思想對今日的數(shù)學創(chuàng)造仍有著啟發(fā)意義。</p><p>　　19世紀，復變函數(shù)的理論經(jīng)過法國數(shù)學家柯西（Cauchy）、德國數(shù)學家黎曼（Riemann）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系統(tǒng)的理論

8、，并且深刻地滲入到代數(shù)學、解析數(shù)論、微分方程、概論統(tǒng)計、計算數(shù)學和拓撲學等數(shù)學分支；同時，它在熱力學、流體力學和電學等方面也有很多的應用。20世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其他分支的聯(lián)系也日益密切。致使經(jīng)典的復變函數(shù)理論，如整函數(shù)與亞純函數(shù)理論、解析函數(shù)的邊值問題等有了新的發(fā)展和應用。并且，還開辟了一些新的分支，如復變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、單葉解析函數(shù)論、多復變函數(shù)論、廣義解析函數(shù)論和擬共

9、形映射等。另外，在種種抽象空間的理論中，復變函數(shù)還常常為我們提供新思想的模型。</p><p>　　在數(shù)學中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應用廣泛的函數(shù)級數(shù)，冪級數(shù)在理論上和實際中都有非常廣泛的應用，它結構簡單，通過冪級數(shù)的展開式可以表示函數(shù)，利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質，常常能夠解決數(shù)學分析中很多疑難問題。同高等數(shù)學中的實變函數(shù)項級數(shù)一樣，復變函數(shù)項級數(shù)也是表示函數(shù)與研究函數(shù)的有力工具。復變函數(shù)論主要的研究對象是解析函

10、數(shù)。從級數(shù)作為研究函數(shù)的工具這個意義上講，在各種有力的解析工具中按其簡單、靈活、明確以及使用的方便而言，毫無疑問第一位應屬于函數(shù)級數(shù)，冪級數(shù)和解析函數(shù)存在著密切的聯(lián)系。</p><p>　　本文基于復變函數(shù)中冪級數(shù)的一些基本知識，參考國內外相關文獻，就復變函數(shù)和冪級數(shù)的歷史背景，冪級數(shù)的概念、性質及其斂散性的判定及函數(shù)的冪級數(shù)展開等相關基礎理論和在解決一些問題方面的應用進行綜述。</p><p

11、><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)的展開式一直是數(shù)學分析中的一個重點，冪級數(shù)的定義[2]：由冪級數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它稱為冪級數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，從某種意義上說，它也可以看作是多項式函數(shù)的延伸。冪級數(shù)在理論上和實

12、際上都有很多應用，特別在應用它表示函數(shù)方面，使我們對它的作用有許多新的認識。文獻[2]著重討論了，即</p><p>　　的情形。一般情況下，只有少數(shù)比較簡單的函數(shù)，其冪級數(shù)展開式能直接從定義出發(fā)，并根據(jù)定理（即設在點具有任意階導數(shù)，那么在區(qū)間內等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對一切滿足不等式的，有，這里是在的泰勒公式余項）來求得。更多的情況是從已知的展開式出發(fā)，通過變量代換、四則運算或逐項求積等方法，間接

13、地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式。熟悉某些初等函數(shù)的展開式，對于一些函數(shù)的冪級數(shù)展開是極為方便的。（華東師范大學數(shù)學系，2007）</p><p>　　要探討復數(shù)域內函數(shù)冪級數(shù)的展開及其應用，我們首先要了解有關函數(shù)冪級數(shù)的基礎知識，文獻[3]-[11]中敘述了有關復變函數(shù)中冪級數(shù)的知識，主要概括為以下方面：</p><p>　　1、冪級數(shù)的斂散性[3-11]</p><p>

14、;<b>　　定義1：具有</b></p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　形式的復函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中和都是復常數(shù)。如果作變換，則以上冪級數(shù)還可以寫成如下形式（把仍改寫為）</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理1（阿貝

15、爾（Abel）定理）：如果冪級數(shù)（1）在某點收斂，則它必在圓（即以為心，圓周通過的圓）內絕對收斂且內閉一致收斂。</p><p>　　推論1：若冪級數(shù)（1）在某點發(fā)散，則它在以為心并通過的圓周外部發(fā)散。</p><p>　　對于一個形如（1）的冪級數(shù)，這一點總是收斂的。時，可能有三種情況：第一種，任意的，級數(shù)均發(fā)散；第二種，任意的，級數(shù)均收斂；第三種，存在一點，使收斂，另外又存在一點，使發(fā)

16、散。在這種情況下，可以證明，存在一個有限正數(shù)，使得在圓周內部絕對收斂，在圓周的外部發(fā)散。稱為此冪級數(shù)的收斂半徑；圓和圓周分別稱為它的收斂圓和收斂圓周。在第一種情形，約定；在第二種情形，約定，并也稱它們?yōu)槭諗堪霃絒3]。</p><p>　　2、收斂半徑的求法、柯西-阿達馬（Hadamard）公式[3-11]</p><p>　　定理2：如果冪級數(shù)的系數(shù)合于</p><p

17、>　　，（達朗貝爾（D’Alembert））或，（柯西）或，（柯西-阿達馬）</p><p>　　則冪級數(shù)的收斂半徑 </p><p>　　3、冪級數(shù)和的解析性[3-11]</p><p>　　定理3：1.冪級數(shù) (2)</p><p>　　的和函數(shù)在其收

18、斂圓內解析；2.在內，冪級數(shù)②可以逐項求導至任意階，即 (3)</p><p>　　還有(2)與(3)的收斂半徑相同；3.。</p><p>　　4、泰勒定理[3-11]</p><p>　　定理4.1（泰勒定理）：設在區(qū)域內解析，，只要圓含于，則</p><p>　　在內能展成冪級數(shù) ，

19、 　(4)</p><p>　　其中系數(shù) . (5)</p><p><b>　　且展式是唯一的。</b></p><p>　　定義4：(4)稱為在點的泰勒級數(shù)，(5)稱為其泰勒系數(shù)，而(4)等號右邊的級數(shù)，則稱為泰勒級數(shù)。</p><

20、p>　　定理4.2：函數(shù)在區(qū)域內解析的充要條件為：在內任一點的鄰域內可展成的冪級數(shù)，即泰勒級數(shù)。</p><p>　　復變函數(shù)展為冪級數(shù)的條件與實變函數(shù)情形相比較，相對要弱一些，表現(xiàn)為以下兩點：一是實變函數(shù)要求存在任意階導數(shù)，而這對于一般函數(shù)是難以達到的。復變函數(shù)只要求在的鄰域內解析，而這是易于實現(xiàn)的。這是因為對于復變函數(shù)來說，解析就能保證函數(shù)無限次可微與各階導數(shù)的連續(xù)性。二是實變函數(shù)還要證明余項趨于零，復

21、變函數(shù)則不必，證明余項趨向于零是比較困難和復雜的。正因為這兩點，所以復變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的應用范圍就比實變函數(shù)情形要大得多[4-9]。其它關于復變函數(shù)中冪級數(shù)的疑難問題與解答這里就不一一敘述了。</p><p>　　冪級數(shù)求和是一類難度較大，技巧性較高的問題，一般要綜合運用求導、求積分、拼湊、分解等技巧才能解決。徐鳳林，張秀麗[12]總結了四種求冪級數(shù)和函數(shù)的方法：一種方法是將待求級數(shù)分解成己知和函數(shù)的級數(shù)的運算

22、(一般是加減)表達形式：如果待求級數(shù)的通項系數(shù)是代表和的形式，則首先考慮將其分解成簡單一些的級數(shù)的代數(shù)和，再逐一計算新的級數(shù)；第二種方法是“先求導，再積分”或“先積分，再求導”：若冪級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，可考慮用“先積分，再求導”的做法：若冪級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，可考慮用“先求導，再積分”的做法；第三種方法是把待求級數(shù)用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示出來：通過冪級數(shù)通項系數(shù)的分母

23、是階乘表示式，可考慮用正弦、余弦、指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)進行計算；第四種方法是解微分方程的方法：利用冪級數(shù)可以逐項求導的性質，列寫出和函數(shù)滿足的微分方程，解此方程即得和函數(shù)。</p><p>　　函數(shù)展開為冪級數(shù)方法一般有兩種：一是直接展開法，二是間接展開法。用直接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)，工作量大，有時甚至是比較困難的，為了避免對余項的討論，經(jīng)常使用間接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和冪級數(shù)的性質，常能化難為易，

24、簡化計算，收到事半功倍的效果。我們就間接展開法探討了其解題方法與技巧可概括為幾個方面：</p><p>　　通過變量代換，直接套用這些函數(shù)的冪級數(shù)展開式，把所給 函數(shù)展成冪級數(shù)[9-13]。</p><p>　　例1 將展開為的冪級數(shù)。</p><p>　　解：已知，因，只要將展開式中的替換成，即得展開式，所以</p><p>　　首先

25、展開導函數(shù)，然后用逐項積分的方法求出原函數(shù)的冪級數(shù)展開式[9-13]。</p><p>　　例2 將展成冪級數(shù)。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　利用逐項求導，把函數(shù)展開成冪級數(shù)[9-13]。</p><p>　　例3 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。</p><p>　　

26、解：利用待定系數(shù)法可求得</p><p><b>　　分析：，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p><p><b>　　已知，</b></p><p>　　對上式兩端求

27、導兩次得</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　上題化成了兩級數(shù)的和，它們成立的區(qū)別分別是與。所以總的成立區(qū)間應是它們的公共部分。</p><p>　　利用復數(shù)的實部、虛部展開冪級數(shù)[13]。</p><p>　　例4 將的展開冪級數(shù)。</p><p>　　解：因復數(shù)的實

28、部就是，</p><p>　　為此，先求的展開式，只要在的展開式中用替代即可</p><p>　　比較上式兩端的實部，即得</p><p>　　比較虛部，又可得到。</p><p>　　另外還有待定系數(shù)法，利用級數(shù)的乘、除運算，微分方程法，部分分式與幾何級數(shù)結合法，代換法[9]。以上都是函數(shù)展成冪級數(shù)的間接法，這里不一一列舉。而展開一個函數(shù)并

29、非只能用一種方法。有時，一個函數(shù)既可分別用多種方法展開，也可多種方法并用展開。如上面例3就可用待定系數(shù)法與逐項求導結合展開。</p><p>　　巧妙地利用函數(shù)冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的性質能夠把一個復雜的性質以及一些不容易把握的函數(shù)表達成形式最簡單、性質最好的級數(shù)形式，所以用它解題往往思路清晰、條理清楚，達到良好的解題效果。許多專家學者都對函數(shù)冪級數(shù)展開的實際應用做了研究。利用冪級數(shù)的重要性質，我們可歸納出冪級數(shù)在

30、計算中的幾個應用：一、冪級數(shù)在近似計算中的應用：可用的冪級數(shù)展開式取近似計算，也可用的冪級數(shù)展開式取近似計算；二、冪級數(shù)在計算積分中的應用：當?shù)脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來時，計算的定積分就遇到了困難。我們可以利用冪級數(shù)展開式取有限項的辦法近似計算這些定積分的值。具體計算時，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù)，且積分區(qū)間必須在冪級數(shù)的收斂域之內，然后利用冪級數(shù)的逐項積分性質來計算所求定積分的值；三、冪級數(shù)在求極限中的應用：求函數(shù)

31、極限的方法很多，冪級數(shù)法也是其中之一；四、冪級數(shù)在數(shù)項級數(shù)求和中的應用；五、冪級數(shù)應用于推導歐拉公式；六、冪級數(shù)在求導數(shù)中的應用；七、冪級數(shù)在組合概率計算中的應用：定義設是一個待定其值的數(shù)列，若存在一個函數(shù)，使得成立，則稱為數(shù)列的生成函數(shù)[14]。</p><p>　　利用函數(shù)的冪級數(shù)表示函數(shù)，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質等，常常能解決許多較為復雜的問題：（一）復變函數(shù)冪級數(shù)在三角級數(shù)求和中的應用[15-16]<

32、/p><p>　　我們求與的和函數(shù)可以構造復函數(shù)冪級數(shù)，設法的和函數(shù)，令，則有.比較上式左右兩端實部和虛部，則得到.</p><p>　　在求的和函數(shù)中，我們常常用到以下結論：</p><p><b>　　(6)</b></p><p><b>　　(7)</b></p><p>

33、;<b>　　(8)</b></p><p>　　其中(6)中的滿足一切復數(shù)；(7)中的滿足；(8)中的滿足且</p><p>　?。ǘ┠负瘮?shù)在組合問題中的應用[15]</p><p>　　利用母函數(shù)可以解決排列組合中有關的排法種數(shù)的問題。.</p><p>　　例5 用1克,2克,4克,8克,16克五個砝碼，在天平

34、秤上能秤哪幾種重量的物體？</p><p>　　解：設質量為克的物體有種稱法，如果妒，就說明這幾個砝碼不能稱重為克的物體。因此，我們的問題是對哪幾個，相應的。那么數(shù)列的母函數(shù)是，只要將它展開成冪級數(shù)就行了，</p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　所以，即.</b></p>&l

35、t;p>　　這說明凡重量不超過3l克的物體能用這五個砝碼稱出來，而且各只有一種稱法；而重量大于3l克的物體都小能用這五個砝碼稱。</p><p>　?。ㄈ┠负瘮?shù)在遞推關系中的應用[15]</p><p>　　在遞推數(shù)列中，運用母函數(shù)的方法可以方便地求得該數(shù)列的一般表達式．</p><p>　　例6 已知滿足線性遞歸關系，已知初始求的—般表達式。</p

36、><p>　　解：設數(shù)列的母函數(shù)為，則有</p><p><b>　　以上三式相加即得，</b></p><p>　　所以，為了求得的—般表達式，只要將展開成冪級數(shù)就行了。</p><p>　　設是方程的兩個根，則可以得到，即得.</p><p><b>　　又</b></

37、p><p><b>　　所以，故</b></p><p>　　函數(shù)冪級數(shù)的展開一直是分析學研究的一個重點，冪級數(shù)作為一種基礎工具用于解決高等數(shù)學和初等數(shù)學中問題，有待我們這些后人更深入的研究，進一步擴大它的應用范圍。</p><p><b>　　三、總結部分</b></p><p>　　本文主要闡述了以

38、下內容：（1）復變函數(shù)和冪級數(shù)的歷史背景；（2）復變函數(shù)中的冪級數(shù)的概念、斂散性判定、收斂半徑的求法、和函數(shù)的求法及函數(shù)的冪級數(shù)展開；（3）歸納總結函數(shù)冪級數(shù)展開的一系列方法；（4）函數(shù)冪級數(shù)展開主要在一些方面的應用。</p><p>　　在復變函數(shù)論中，函數(shù)的冪級數(shù)展開無論在理論上還是在應用上都占有非常重要的地位。冪級數(shù)在其和函數(shù)的解法，函數(shù)展成冪級數(shù)的方法技巧以及冪級數(shù)的展開或展開式在計算等數(shù)學問題的應用前人

39、已經(jīng)取得了許多重要成果。并且事物總在不斷地發(fā)展變化，隨著人們更深入的研究，筆者相信隨著人們更深入的研究，例如研究更多冪級數(shù)展開的途徑，或是洛朗展式的進一步深入，又或是對雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的冪級數(shù)余項的研究等等，關于函數(shù)冪級數(shù)的理論和方法定會更趨完善，它所涉及的領域也會更廣。</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1] 徐傳勝,中國

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